（Ⅱ）由设直线的方程为

，得点坐标为，

，代入椭圆方程中整理得： ，由

得

则

，

所以

，当时，

21.【广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系xoy中，设点F (1，0)，直线l: x??1，点P在直线l上移动， R是线段PF与y轴的交点, 异于点R的点Q满足： RQ?FP， PQ?l. （1）求动点Q的轨迹的方程；

（2） 记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E 的弦AB. CD，设AB. CD 的中点分别为M，N． 问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定点， 如果不是，说明理由．

【答案】(Ⅰ) y?4x(x?0)；(Ⅱ)以直线MN恒过定点R ?3,0?．

2

试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l的方程为： x??1．点R是线段FP的中点， 且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线． ∴PQ是点Q到直线l的距离．

∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴PQ?QF． 故动点Q的轨迹E是以F为焦点， l为准线的抛物线， 其方程为： y?4x(x?0)．

(Ⅱ) 设A?xA,yA?,B?xB,yB?， M?xM,yM?，N?xN,yN?，

由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为

2y?k?x?1? yA2?4xA则{2yB?4xB?1? 2??42，即yM?， kk2?2?2?1,．所以点Ｍ的坐标为?1?2?． 2k?k?k（1）—（2）得yA?yB?代入方程y?k?x?1?，解得xM?同理可得： N的坐标为2k2?1,?2k． 直线MN的斜率为kMN???yM?yNk?，方程为

xM?xN1?k2y?2k?k22，整理得x?2k?1y1?k?k?x?3?， 21?k????显然，不论k为何值， ?3,0?均满足方程，所以直线MN恒过定点R ?3,0?．

22.【辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a?R），已知当a?1时，动圆N过点M且与直线x??1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C． （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）当a?2时，若直线l与曲线C相切于点P?x0,y0?（y0?0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明： M、P两点的横坐标之差为定值． 【答案】（Ⅰ）y?4x；（Ⅱ）证明见解析.

2

试题解析：

（Ⅰ）因为圆N与直线x??1相切，所以点N到直线x??1的距离等于圆N的半径， 所以，点N到点M?1,0?的距离与到直线x??1的距离相等.

所以，点N的轨迹为以点M?1,0?为焦点，直线x??1为准线的抛物线， 所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y?4x．

（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?y0?k?x?x0?， 由{2y?y0?k?x?x0?,y2?4x, 得

k2y?y?kx0?y0?0， 42又y0?4x0，所以

k2ky?y?y02?y0?0， 442?k2?y0?y0??0，解得k?． 4y??0因为直线l与曲线C相切，所以??1?k??2所以，直线l的方程为4x?2y0y?y0?0．

动圆M的半径即为点M?a,0?到直线l的距离d?4a?y0216?4y02. 当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a?2时；

d?4a?y0216?4y02?y02?4a2y0?42 ?y02?4?4a?42y0?42 ?y02?42?4a?42y0?42?2a?1.

2当且仅当y0?4a?8，即x0?a?2时取等号，

所以当动圆M的面积最小时， a?x0?2，

即当动圆M的面积最小时， M、P两点的横坐标之差为定值.