第2讲 函数的应用
1．(2016·天津)已知函数f(x)＝sin
2
ωx11＋sin ωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，222
2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )
?1?A.?0，?
?8??5?C.?0，? ?8?
答案 D
?1??5?B.?0，?∪?，1? ?4??8??1??15?D.?0，?∪?，? ?8??48?
1－cos ωx11
解析 f(x)＝＋sin ωx－
222π?12?＝(sin ωx－cos ωx)＝sin?ωx－?.
4?22?因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，
Tπ
所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.
2ω
当x∈(π，2π)时，ωx－
ππ?π?
∈?ωπ－，2ωπ－?，若函数f(x)在区间(π，2π)内有
44?4?
ππk11
零点，则ωπ－ 442841155 当k＝0时，<ω<；当k＝1时，<ω<. 8484所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时， 115 0<ω≤或≤ω≤. 848 ??x＋2．(2016·天津)已知函数f(x)＝? ??loga2 a－3x＋3a，x<0，x＋ ＋1，x≥0 (a>0，且a≠1)在R上单 调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) ?2?A.?0，? ?3? 12??3??C.?，?∪?? ?33??4?答案 C ?23?B.?，? ?34? 12??3??D.?，?∪?? ?33??4? 解析 由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0 0＋a－?? 又由f(x)在R上单调递减，则?3－4a≥0，??213 ?≤a≤. 34 2 ＋3a≥f＝1， 如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解．故在(－∞，0)上，|f(x)|＝22 2－x同样有且仅有一个解．当3a>2，即a>时，由x＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得 3 x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0， 3 解得a＝或a＝1(舍去)； 4 12 当1≤3a≤2，即≤a≤时，由图象可知，符合条件． 33 ?12??3? 综上所述，a∈?，?∪??. ?33??4? 故选C. ??|x|，x≤m， 3．(2016·山东)已知函数f(x)＝?2 ??x－2mx＋4m，x>m， 其中m>0，若存在实数b，使得 关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． 答案 (3，＋∞) 解析 如图， 当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m－3m>0，解得m>3. 4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________． 2 2 2 答案 3 3 解析 由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1， 11?13?则体积V＝Sh＝×?×23×1?×1＝. 33?23? 1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现. 2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题. 热点一 函数的零点 1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝ g(x)的图象交点的横坐标． 例1 (1)已知实数a>1,0 B．(－1,0) D．(1,2) x??2－|x|，x≤2， (2)已知函数f(x)＝?2 ?x－，x＞2，? 函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x) 的零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 (1)B (2)A