（2）设x???t，
??0xf(sinx)dx??(??t)f[sin(??t)d(?t)
?0 ???0?f(sint)dt??tf(sint)dt
0??
利用此公式可得
??0xf(sint)dx=
?2??0f(sint)dt
??0xsinx??sinx??1==dxdx?dcosx 2?01?cos2x2?01?cos2x1?cos2x =?18. 证明： 利用分部积分法，
?2?arctg(cosx)?0 =
??24.
?baxf??(x)dx??xdf?(x)?[xf?(x)]a??f?(x)dx=bf?(b)?af?(a)?f(x)a
aabbbb?[bf?(b)?f(b)]?[af?(a)?f(a)]
19. 答：不正确.因为
21在[?1，2]上存在无穷间断点x?0 ， x1??1xdx不能直接应用Newton?Leibniz公式计算，事实上， 210121??1121dx+lim??dx ??1xdx???1xdx+?0xdx??lim???1?2x?2?0x1?0?lim??ln(?x)??11+lim??lnx??2
??2?1?0?2?0?lim?ln?1+ln2?lim??2不存在,
?1?02?2?0故
1??1xdx发散.
20. 解：（1）????01111(?)?lim?lim???, =dx2?x???x?0x0xxx???
（2）
???01dx发散. 2x?????1e?100x?100xedx=?10021e?1001?100?0?(?)?e
1001002??1?x??1?xdx?2?（3）?dx?2???1?x401?x40??1?12??11??xdx?dx?2??? 201x??1???x2x???2?2xx?? 16
??1x?2x?arctg22?2?
0?（4）
???01xdxarctan=
10100?x210???0π. 2021.解：(1)
?1arcsinx1?x20dx?lim???00?1??arcsinx1?x2dx?lim???00?1??arcsinxd(arcsinx)
1?21221?? ?lim(arcsinx)。 ?lim[arcsin(1??)]?0???02???028(2) 令x?acost?bsint，0?t?22?2，则
???x?a??b?x?abdx??20?b?a?sin2tdt??
?b?a?costsint22. 证明：当q?1时,?badxb??ln(x?a)?a???，发散； x?a当q?1时,?ba?(x?a)dx=?(x?a)q?1?q1?q?(b?a)1?q,q?1???。 1?q???a?q?1???,b
本章复习题B
一、填空题 1．
x?|x|??22?x2dx? 。
2[答案：填ln3]
22x?|x|x|x|dx?dx???22?x2??22?x2??22?x2dx2|x|2x?2?dx?2?02?x2dx 02?x22?ln(2?x2)|0?ln6?ln2?ln3211122. 若f(x)??1?x?f(x)dx，则?f(x)dx? 。
001?x2[答案：填
令
?4??]
?10，则f(x)?f(x)dx?k（k为常数）
1?k1?x2，所以 21?x 17
112?0f(x)dx??01?x2?k?01?x
k?k????即 k?arctanx|1。 ???k?0444???sinx3. 设f(x)有一个原函数，则?xf'(x)dx? 。
?/2x4?1] [答案：填?11xcosx?sinx?sinx? 因为f(x)??，所以 ??2xx??'??4.
?/2xf'(x)dx????/2xdf(x)?[xf(x)]|??/2????/2f(x)dx
xcosx?sinx?sinx?4?|?/2?|?/2??1xx????1dx? 。 x2?xe?e[答案：填
?4e]
???1??dxexdx1ex??arctaneex?e2?x?1e2x?(e)2eaxa??1??2e??4e??4e
?1?x?5. 设lim??x???x???tetdt，则常数a? 。
??[答案：填2]
??1?x?ttaaa 左边?lim??1????e，右边?(te?e)|???(a?1)e，
x?????x???aa所以e?(a?1)e?a?2
二、选择题
ax2xf(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limF(x)等于 1．设F(x)??ax?ax?a（ ）。
（A）a；（B）af(a)；（C）0；（D）不存在。
[答案：选（B）]
应用洛必达法则，有
22x2x?2xxf(t)dt?x2f(x)??a2f(a) limF(x)?limf(t)dt?lim?ax?ax?ax?a?x?a???a?2．设f(x)为连续函数，且F(x)??lnx1xf(t)dt，则F'(x)等于（
?1?f??； ?x??1?f??。 ?x?）。
11f(lnx)?2xx11 （C）f(lnx)?2xx （A）
?1?f??；（B）f(lnx)?x???1?f??；（D）f(lnx)?x??[答案：选（A）]
18
1?1??1??1?1F'(x)?f(lnx)?(lnx)'?f?????'?f(lnx)?2f??
x?x??x??x?x3．设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0，则方程
xx1f(t)dt??a?bf(t)dt?0
在开区间(a,b)内的根有（ ）。 （A）0个；（B）1个（C）2个；（D）无穷多个。
[答案：选（B）]
1dt，则F(x)在闭区间[a,b]上连续，且 ?abf(t)a1b1bF(a)??dt???dt?0，F(b)??f(t)dt?0
bf(t)af(t)axx1则由零点定理知，方程F(x)??f(t)dt??dt?0在(a,b)内至少有一个根。
abf(t) 又因为当x?(a,b)时，有
令F(x)?xf(t)dt??xx1?x?1F'(x)???f(t)dt??dt??f(x)??0
abf(t)f(x)??xx1所以函数F(x)??f(t)dt??dt在(a,b)内单调增加，因此方程
abf(t)xx1F(x)??f(t)dt??dt?0在(a,b)内至多有一个根。
abf(t)xx1 综上，有方程?f(t)dt??dt?0在(a,b)内只有一个根。
abf(t)'4．下列广义积分收敛的是（ （A）
?? ）
??lnx1； （B）dx?ex?exlnxdx；
????11 （C）?； （D）dx?exlnxdx； exln2x[答案：选（C）]
令lnx?t，则上面四个广义积分可化为 （A）则显然
???1tdt????1??dt??dt??dtdt；（B）；（C）；（D）。 2?1???111tttt???1dt收敛，因为P?2?1，而其余的都p?1，发散。 t2
）。 （B）
15．下列广义积分发散的是（
1 （A）?dx；
?1sinx （C）
???0e?xdx；
21?x??1（D）?dx
2xln2x?112?1dx；
[答案：选（A）]
（A）中，x?0为瑕点，且limx?x?01?1?0，由极限敛散性判别法，知（A）中sinx广义积分发散。
19
三、计算题
1. 设函数f(x)可导，且f(0)?0，F(x)?解：令u?x?t，则F(x)?nn?x0ntn?1f(xn?tn)dt，求 limx?0F(x)。 2nx?t0xn?11xnf(x?t)dt??f(u)du，于是
n0nF(x)lim2n?limx?0xx?0?lim2. 设函数f(x)连续，且
xxx?0xn1n0?f(u)du2n1nxf(xn)2xn?lim1n?nxn?1f(xn)
?lim122nx2n?1n1[f(x)?f(0)]nx?0x?02(xn?0)2?f'(0)2n21?tf(2x?t)dt?0 arctanx。已知f(1)?1，求?f(x)dx的值。
解：令2x?t?u，则t?2x?u，于是
?tf(2x?t)dt??02xx(2x?u)f(u)du?1arctanx2 2求导得
?xf(x)?2?f(u)du?取x?1，得
?212xxxxf(u)du??f(x) ，即4?4xx2(1?x)21?x1f(1)3f(x)dx???。
4242x1x2t2?x2(1?t)edt 0x??x?x21x12t2?x2解： lim?(1?t)edt?limx2??(1?t2)etdt?
?x??x0x???0?xe?2(1?x2)ex(1?x2)1?lim?lim?
2x2x??x??(1?2x2)2(1?2x)e3. 求极限lim?f(tx)dt?f(x)?xsinx。
解：令tx?u，即t?，则?f(tx)dt??f(u)du，所以
?f(u)du?f(x)?xsinx，即?f(u)du?xf(x)?x4. 求连续函数f(x)使它满足
ux1010x1x0x1x0x20sinx
两边求导，得
f(x)?f(x)?xf'(x)?2xsinx?x2cosx，即f'(x)??2sinx?xcosx
积分，得
f(x)?2cosx?xsinx?cosx?C?cosx?xsinx?C
dx。
(1?x)x333111dx?2?dx?2?dx 解：?200(1?x)0(1?x)x1?(x)5. 求
0?312?2arctanx|3?2arctan3?2arctan0?? 03xlnt6. 求函数I(x)??2dt在区间[e,e2]上的最大值。
et?2t?1
20