第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理

1.1.2 余弦定理

学习目标

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

合作学习

一、设计问题,创设情境

如图所示,在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求边c. 根据学过的正弦定理知识,能够求出边c吗?

二、信息交流,揭示规律

联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题?

是否可以用向量解决这个问题呢?如果可以,尝试一下解决这个问题.

余弦定理:

思考1:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?

余弦定理的推论形式:

思考2:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?

三、运用规律,解决问题

【例1】在△ABC中,已知a=2,c=,B=45°,求b及A.

【例2】在△ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形(角度精确到1').

四、变式训练,深化提高

【例3】在△ABC中,已知b=5,c=5,A=30°,解三角形.

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【例4】在△ABC中,若a=b+c+bc,求角A.

五、限时训练 (一)选择题

1.△ABC中,a=3,b=,c=2,那么B等于( ) A.30° B.45° C.60° D.120°

2.已知△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=1∶∶2,则A∶B∶C等于( ) A.1∶2∶3 B.2∶3∶1 C.1∶3∶2 D.3∶1∶2

2

3.在△ABC中,B=60°,b=ac,则△ABC一定是( )

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.若三条线段的长为5,6,7,则用这三条线段( ) A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形 5.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于( ) A.12 B. C.28 D.6 6.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则∠A等于( ) A.90° B.60° C.120° D.150° (二)填空题

7.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC= .

8.在△ABC中,(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则△ABC的最大内角的度数是 .

(三)解答题

9.在△ABC中,a+b=10,cos C是方程2x-3x-2=0的一个根,求△ABC周长的最小值.

2

10.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1. 求:(1)角C的度数; (2)AB的长度.

六、反思小结,观点提炼

通过本节课的研讨,请大家谈谈自己的体会. (1)在本节课中,学习了哪些知识?

(2)包含了哪些数学思想和数学方法?

参考答案

一、设计问题,创设情境 不可以

二、信息交流,揭示规律 利用向量.

2

如图,设=a,=b,=c,那么c=a-b,

|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=|a|2+|b|2-2a·b.

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从而c=a+b-2abcos C.

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同理可证a=b+c-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B.

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

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的余弦的积的两倍.即a=b+c-2bccos A;b=c+a-2cacos B;c=a+b-2abcos C.

思考1:4个量,可以. 余弦定理的推论: cos A= cos B= cos C=

思考2:若△ABC中,C=90°,则cos C=0,这时c=a+b,由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.

三、运用规律,解决问题

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【例1】解:∵b=a+c-2accos B =(2)2+()2-2×2×()×cos45° =12+()2-4×(+1) =8, ∴b=2.

(求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理.) 方法一:∵cos A=, ∴A=60°.

方法二:∵sin A=sin B=·sin45°=, 又∵>2.4+1.4=3.8, 2<2×1.8=3.6,

∴a

(方法二应注意确定A的取值范围.) 【例2】解:由余弦定理的推论,得 cos A= =

≈0.5543, A≈56°20'; cos B= =

≈0.8398, B≈32°53';

C=180°-(A+B)≈180°-(56°20'+32°53')=90°47'. 四、变式训练,深化提高

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【例3】解:∵a=b+c-2bccos A =25+75-75 =25, ∴a=5.

(求B可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理.) 方法一:∵cos B=, ∴B=30°.

方法二:∵sin B=sin A=·sin30°, ∴B=30°或B=150°(舍去). ∴C=180°-30°-30°=120°. 【例4】解:由余弦定理推论,可知 cos A= = =-,

所以角A为120°. 五、限时训练

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1.C 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.4或5 8.120°

2

9.解:∵2x-3x-2=0,∴x1=2,x2=-.

2

又∵cos C是方程2x-3x-2=0的一个根,∴cos C=-.

2222

由余弦定理,得c=a+b-2ab·=(a+b)-ab,

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则c=100-a(10-a)=(a-5)+75.

当a=5时,c最小且c==5,此时a+b+c=10+5, ∴△ABC周长的最小值为10+5.

10.解:(1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,∴C=120°. (2)由题意,知

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∴AB=AC+BC-2AC·BCcos C=a+b-2abcos120° =a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10. ∴AB=.

六、反思小结,观点提炼

(1)①余弦定理及其发现和证明;②余弦定理的初步应用.

(2)①运用从特殊到一般,从一般到特殊的转化思想;②运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的方法.