常用均值不等式及证明证明

概念： 1、调和平均数： Hn?n?111???a?a???a??2n??11n 2、几何平均数： Gn??a1a2?an?n 3、算术平均数： An??a1?a2???an? 4、平方平均数： 这四种平均数满足Hn?Gn?Qn?222a1?a2???ann An?Qn

?、an a1、a2、?R?，当且仅当a1?a2???an时取“=”号

1rrrr?a1??a2???an?均值不等式的一般形式：设函数D?x???n??(当 r?0时); D?x???a1a2?an?1n(当r?0时）（即

D?0???a1a2?a1n则有：当r=-1、1、0、2注意到Hn≤Gn≤An≤Qn n?仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用

a?ba2?b2?ab??22?11?????ab?2 均值不等式的变形：

(1)对实数a,b，有a222?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)， a,b?0?2ab

(2)对非负实数a,b，有a?b?2ab?0，即?a?b??2ab?0 (3)对负实数a,b，有 (4)对实数a,b，有

a?b?-2ab?0 a?a-b??b?a-b?

a2?b2?2ab?0

(5)对非负实数a,b，有

22a?b2?2ab (6)对实数a,b，有a?b?22a?b?c222 (7)对实数a,b,c，有a?b?c?3

(8)对实数a,b,c，有

a2?b2?c2?ab?bc?ac23?a?b?22a?ab?b? (9)对非负数a,b，有4 a?b?c3?abc (10)对实数a,b,c，有

3均值不等式的证明：

方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则?A?B??An?nA?n-1?B

n注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0 (用数学归纳法)。 原题等价于： ?a1?a2???an????a1a2?an n??n 当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即

?a1?a2???ak? ???a1a2?ak k??那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则 设

ka1,a2,?,ak?1中最大者，

kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

?a1?a2???ak?1???k?1?? k?1?skak?1-s???????kkk?1??k?1??s????k?k?1?s???k?1????kak?1-s??k?k?k?1?kk 用引理 ?s????ak?1?a1a2?ak?1 ?k?用归纳假设

下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点，

则有： ?x?x???xn?f?x1??f?x2???f?xn?f?12?? nn?? 设f?x??lnx，f?x?为上凸增函数 所以，

?x1?x2???xn?lnx1?lnx2???lnxnln???nn?? ?ln?x1x2?xn?1n 即 1x1?x2???xn??x1x2?xn?n n在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）