第三章 解析几何

专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题

【压轴综述】

圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法

(1)两种类型

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

【压轴典例】

x2y2例1.（2019·湖南高三月考）点A、B为椭圆E:2?2?1?a?b?0?长轴的端点，C、D为椭圆E短轴

ab的端点，动点M满足率为（ ） A.

MAMB?2，若?MAB面积的最大值为8，?MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心

2 3B.

3 3C.

2 22D.

3 2例2.（2019·山东高考模拟（理））已知A(0,3)，若点P是抛物线x?8y上任意一点，点Q是圆

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|PA|2的最小值为（ ） x?(y?2)?1上任意一点，则

PQ22A．43?4 B．22?1 C．23?2 D．42?1

x2y2例3.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点P是椭圆??1上非顶点的动点，F1,F2分别是椭

168圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M为?F1PF2的平分线上一点，且F1M?MP?0，则OM的取值范围为（ ） A．?0,3?

B．0,22??

?C．?0,3?

D．0,22

??2例4. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线x?y.点A?-，?，B?，?，抛物线上的点P（x,y）

?11??24??39??24?3??1-＜x＜??,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

2??2

（I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求PA?PQ的最大值

x2y2?2?12ab例5. （2017·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22. (Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求?EDF的最小值.

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2

例6.（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y=4x上存在不同的两

点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． （Ⅱ）若P是半椭圆x+42

，0)为抛物线y2?2px(p?0)，点F为焦点，过点F的直线例7.（2019·浙江高考真题）如图，已知点F(1交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.

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