三角形

一、【学习目标】

（1）了解三角形的基本元素与主要线段（角平分线、中线、高线）；能区分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形及等边三角形；会用直尺和量角器画出三角形的角平分线、中线、高线. 了解三角形的稳定性在生产实践中的应用. （2）掌握三角形三边之间的关系.

（3）掌握三角形的外角性质及外角和、多边形的内角和与外角和公式并会运用它们解决有关的计算问题.

（4）能进一步理解某些正多边形能够铺满地面的道理. 重点难点

（1）重点：三角形内角和、外角和及三边关系等性质的运用. （2）难点：三角形外角性质的推导以及多边形内角和公式的推导.

二、考点分析

1. 三角形及其边、角、顶点

由不在同一直线上的三条线段顺次相接所组成的图形叫三角形.记作△ABC.

2. 三角形中的主要线段：中线、高线和角平分线

⑴在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

BD?AD?AD是△ABC的中线←→

1BC2

⑵从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。

AD是△ABC的高←→∠ADB=∠ADC=90°←→AD⊥BC于D

⑶三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

AD是△ABC的角平分线←→∠BAD=∠DAC= 3. 三角形分类：

1?BAC2三角形按边来分类：

⑴不等边三角形—任意两条边都不相等

⑵等腰三角形—有两条边相等

（3）等边三角形—任意两条边都相等 三角形按角来分类：

——有3个锐角?锐角三角形?——有1个直角?直角三角形?钝角三角形——有1个钝角?

4. 与三角形的角、边有关的性质 三角形的内角、外角：

（1）三角形的内角和是180°. （2）三角形的外角和是360°.

（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. （4）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

图8.2.6 三角形的三边关系：

三角形的任何两边的和大于第三边。

?a?b?c??a?c?b?c?b?a?

设△ABC的三条边长分别为a，b，c，则有

设△ABC的两条边长分别为a，b，则第三条边长x的取值范围是

a?b?x?a?b

三角形的稳定性在生产实践中的应用。 5. 多边形的内角和与外角和 多边形的外角和是360度.

多边形的内角和等于（n－2）×180°. （n是大于2的正整数） 既要会由边数求内角和，又要会由内角和求边数. 6. 用多边形拼地板

当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形

三、典型例题

例1. 画出下图中钝角三角形和直角三角形的三条高线

分析：画钝角三角形和直角三角形的高是个难点，注意过哪个顶点向哪条边画垂线. 解：如图，钝角三角形ABC的三条边上的高线分别为AR，CP和BQ. 直角三角形DEF的三条边EF、FD和DE边上的高线分别为DF，EF和FM.

例2. 判断满足下列条件的三角形的形状

（1）△ABC中，∠A是∠B的两倍，∠C比∠A+∠B还大30° （2）△ABC的三个顶点处的三个不同外角之比为3:5:4

分析：这种题型是方程思想的运用，但也可用简便方法来解. 解：（1）设∠B为x度，则∠A为（2x）度，

∠C为[（x+2x）+30]度

由三角形内角和为180°，得 2x+x+（x+2x+30）=180 6x=150 x=25 2x=50

x+2x+30=105

则三角形的三个内角分别为25°，50°，105°

三角形有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形. （2）设三角形的三个外角为（3x）°，（5x）°和（4x）° 由三角形的外角和为360°，得到 3x+5x+4x=360 x=30

三角形的三个外角分别为90°，150°，120° 则三角形的三个内角分别为90°，30°，60° 即这个三角形为直角三角形.

例3. 如图 D是△ABC内一点，∠BDA>∠C吗？请说明理由.

CDAB

分析：结合三角形中的不等关系作辅助线，构造“三角形的一个外角大于任何一个和它不相信邻的内角”这个基本图形.

解法一：连结CD并将其延长与AB交于E 由∠ADE是△ACD的外角，得∠ADE＞∠ACD 由∠EDB是△CDB的外角，得∠EDB＞∠BCD 则∠ADE+∠EDB＞∠ACD+∠BCD 即∠ADB＞∠ACB 所以∠ADB>∠C

解法二：延长AD交BC于E，∠ADB是△DBE的外角，则∠ADB>∠AEB 又∠AEB是△ACE的外角，则∠AEB>∠C 则∠ADB>∠AEB>∠C 即有∠ADB>∠C

例4. 两根木棒分别为5cm，7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长