第六章 线性空间—自测练习

一.判断题

1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。

3.n维线性空间中任意n个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。

5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。

9.数域P上任意两个n维线性空间都同构。

10.每个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的和。 二.计算与证明

1. 求P[t]n的子空间W?{f(t)?a0?a1t?……+an?1tn?1|f(1)?0,f(t)?P[t]n}的基与维数。 2. 求P2?2中由矩阵A1???21??10??31??11?，，，A?A?A?2???34????生成的子

??13??20??13???33?空间的基与维数。

3.设P的两个子空间W1?L(?1,?2)，其中

4?1?(1?,1,0，,1?)2?(1,0,2,3)，

W2?{(x1,x2,x3,x4)|x1?2x2?x4?0}。求W1?W2与W1?W2的基与维数。

4．P为数域，P2?2??x?x????ab??中V1????x,y,z?P?，V2????a,b,c?P?

yz?ac????????2?21）证明：V1,V2均为P的子空间。

2）求V1?V2和V1?V2的维数和一组基。

3

5. P为数域，P中V1?(a,b,c)a?b?c,a,b,c?P，V2?(0,x,y)x,y?P

3

????证明：P=V1?V2

6.设V是定义在实数域R上的函数所组成的线性空间。令

W1={f(t)|f(t)=f(-t),f(t) V}，W2={f(t)|f(t)=-f(-t),f(t) V}

证明：W1,W2均是V的子空间，且V?W1?W2。

27. 设A为n级实方阵, A为幂等阵（A?A），齐次线性方程组Ax?0的解空间为W1，

(A?E)x?0的解空间为W2.

证明:R=W1?W2

n?a1?an8. 设M是数域P上形如A??????a2(1)证明:M是线性空间 Pn?nan?a1?an?1??的循环矩阵的集合， ?????a3?a1?a2?的子空间.

(2)证明:?A,B?M,有AB?BA. (3)求M的维数和一组基.

9.设W={(a,a+b,a-b)|a,b R}。

32证明：(1) W是R的子空间。（2）W与R同构。

?0?1?10.设A???10??，证明：由A的全体实系数多项式集合V关于矩阵的加法与数乘运算构

??成的R上的线性空间与复数域C作为R上的线性空间同构.

禳轾a镲镲犏11. C为复数域，令H=睚犏镲-b臌镲铪baa,b C

证明：（1）H关于矩阵加法和数与矩阵乘法构成实数域R上的线性空间。 （2）求H的一组基和维数。

（3）H与R同构，并写出一个同构映射。

4禳轾a-b镲镲犏a,b R 12. R为实数域，M=睚犏镲ba臌镲铪证明：（1）M是实数域R上的线性空间。 （2）求M的一组基和维数。

（3）M与复数域C作为R上的线性空间同构，并写出同构映射。

13.设P为数域，A?Pn′n，f(x),g(x)?P[x]，且(f(x),g(x))=1，

X=(x1,x2,L,xn)' Pn。对于Pn中的三个子空间：

??nV?{X?P|f(A)g(A)X?0}，V1?{X?P|f(A)X?0}，

n?V2?{X?P|g(A)X?0}。

n证明：V?V1?V2