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例题解析：多边形的内角和

【例1】一个多边形除一个内角外，其余各内角的和为2030°，求这个多边形的边数.

【点拨】本题在利用多边形的内角和计算公式得到方程后，又借助数的整除，通过讨论得这个内角的度数，这是解决有关多边形的内角和与外角和问题的一种常用的方法.

【答案】设边数为n，这个内角为x，则0°

答：这个多边形的边数为14.

【例2】已知∠ABC的边BA、BC分别与∠DEF的边ED、EF垂直，垂足分别是M、N，且∠ABC=70°，求∠DEF的度数.

B D M A E M E N F （1）

C

B O D

N F （2）

C A

【点拨】本题已知了∠ABC、∠DEF角和边的关系，没有给出图形，可先画出图形，再结合图形，利用相关知识求解.根据题意，符合条件的图形刻画出两个，要考虑周全，不能漏解，两个图形分别如图（1），（2）.

在（1）中，求∠DEF，利用四边形内角和定理即可；

在（2）中，求∠DEF，利用三角形内角和等于180°，利用两个三角形中角的关系进行求解.

【答案】(1) 如图（1）

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∵DE⊥AB ∴∠BME=90° ∵EF⊥BC ∴∠BNE=90° ∵∠B+∠BME+∠BNE+∠DEF=360° 又∵∠B=70° ∴∠DEF=110° (2) 如图（2）

∵DE⊥AB ∴∠BME=90°

∵EF⊥BC ∴∠BNE=90° ∴∠BME=∠BNE ∵∠DEF+∠BME+∠EOM=180° ∠B+∠BNE+∠BON=180°

∴∠DEF+∠BME+∠EOM=∠B+∠BNE+∠BON ∴∠DEF+∠EOM=∠B+∠BON ∵∠EOM=∠BON ∴∠DEF=∠B ∵∠B=70° ∴∠DEF=70°

答：∠DEF=70°或110°

【例3】已知一个多边形的内角和等于1440°，求此多边形对角线的条数． 【点拨】先根据多边形的内角和公式（n-2）×180°求出该多边形的边数，再根据多边形对角线条数公式

n(n?3)进行计算即可得解． 2【答案】解：设多边形的边数为n， 由题意，得：（n-2）×180°=1440°， 解得：n=10，

所以，此多边形的对角线的条数为

n(n?3)=35． 2309教育资源库 www.309edu.com