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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第9章 利润最大化 课后习题详解
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1．约翰割草服务公司是一个小厂商，它是一个价格接受者（即MR?P）。修剪草坪的现行市场价格为每亩20美元，约翰割草服务公司的成本为：
C?0.1q2?10q?50
其中，q是约翰公司选择的每天修剪草坪的亩数。
（1）为了实现利润最大化，约翰公司每天将选择修剪多少亩草坪？ （2）计算约翰公司每天的最大利润额。
（3）图示这些结果，并画出约翰公司的供给曲线。 解：（1）约翰公司的利润函数为：
??Pq?C?20q??0.1q2?10q?50???0.1q2?10q?50
d?d2?*??0.2q?10?0，解得q?50。且2??0.2?0，故为利润最大化的一阶条件为：dqdq实现利润最大化，约翰公司每天将选择修剪50亩草坪。
（2）约翰公司每天的最大利润额为：
???0.1q2?10q?50??0.1?502?10?50?50?200（美元）
（3）由于约翰公司是价格接受者，则有P?MR?MC?0.2q?10，此即为约翰公司的供给曲线。约翰公司的供给曲线如图9-4所示。
图9-4 约翰公司的供给曲线
2．固定的一次总付性的利润税会影响利润最大化的产出吗？如果是对利润计征比例税呢？如果按每单位产出征收一定的税对产出有影响吗？对劳动投入征税对产出有影响吗？ 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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答：假设厂商的利润为：??q??R?q??C?q?，利润最大化的一阶条件为：
???R?C ? ? ? 0，即MR?MC。 ?q?q?q（1）在一次总付性的利润税下，厂商的利润为：??q??R?q??C?q??T，利润最大化的一阶条件为：
???R?C ? ? ? 0 ? 0，即MR?MC，与不征税时一样，因而固定的一次总付?q?q?q性的利润税不会影响利润最大化的产出。
（2）在对利润征收比例税的情况下，假设征收比例为t，则利润变为：
?? ? ?1 ? t??MR ? MC?? 0，即MR?MC。 ，一阶条件为：??q???1?t??Rq?Cq????????q因而对利润征收比例税也不会影响利润最大化的产出。
（3）如果对每单位产出征税，则利润为：??q??R?q??C?q??tq，利润最大化的一阶条件为：
?? ? MR ? MC ? t ? 0，即MR?MC?t。因而产出q将发生变化，此时产品税确实?q影响产出。
（4）如果对劳动征税，则厂商的边际成本有可能发生变化，从而利润最大化的一阶条件也有可能发生变化，最终对劳动投入征税会影响企业的产出。
3．本题讨论一些函数形式的需求曲线和边际收益曲线之间的关系。请证明：
（1）对一条线性需求曲线，在任何价格水平上，边际收益曲线都处在纵轴与需求曲线之间的平分点上。
1（2）对于任一条线性需求曲线，需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离为? q，其
b中b（b?0）是需求曲线的斜率。
（3）对于q?aPb这样的一条不变弹性的需求曲线，需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离与需求曲线的高度成一固定的比率，这一比率取决于需求的价格弹性。
（4）对于任何向下倾斜的需求曲线，在任一点上需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离可以通过在该点对需求曲线的线性趋近，并应用在（2）中所描述的方法得到。
（5）图示（1）到（4）所得的结论。
证明：（1）假设线性需求曲线为：q?a?bP，从而可得反需求曲线为：P??q?a?/b。 因而总收益为：R?PQ??q?a?q/b，边际收益为：MR ? 从而有：q??a?bMR?/2。
因为纵轴与价格为P时需求曲线某点之间的距离为q?a?bP，此时纵轴与MR?P时MR曲线上的某点之间的距离为：q???a?bMR?/2??a?bP?/2?q/b。
2q?a。 b由于P是任取的，因而可知对一条线性需求曲线，在任何价格水平上，边际收益曲线都985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
1P ? MR ? ? q。
b
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处在纵轴与需求曲线之间的平分点上。
（2）对于需求曲线q ? a ? bP?b ? 0?而言，有P ? q ? a2q ? a，而MR ? ，因而有：bb（3）对于不变弹性需求函数q?aPb而言，其边际收益为：
?P?q?MR?P?q????q?a?1/b??q/a?1/b???b??? ??其需求的价格弹性为：
?qPabPb???b ?PqaPb因而需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离为：
P?MR???q/a?b1/b??P?b?0? b从而P?MR与需求的高度（P）成正比，同时这一比例也取决于需求的价格弹性b。 （4）如果eq,P?0（需求曲线向下倾斜），则边际收益将小于价格，从而垂直距离为：P?MR。
因为MR ? P? q dPdPdq，从而垂直距离为：?q 。又因为?b为需求曲线切线的斜率，dqdqdP所以可得需求曲线与边际收益曲线之间的垂直距离为：P? MR ? ?q。 b（5）（1）（2）（4）的结论如图9-5（a）所示，（3）的结论如图9-5（b）所示。
图9-5 需求曲线与边际收益曲线之间的关系
4．U.W. 公司在其设在内华达州的工厂生产高质量的小器械，销往世界各地。小器械的总成本函数为：C?0.25q2。
小器械的需求地只有澳大利亚（其需求曲线为q?100?2p）与拉普兰（其需求曲线为q?100?4p）。如果该公司能够控制它在每一个市场上的供给量，为了使总利润最大化，它应该在每个地方各出售多少？在每个地方以什么价格出售？
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解：假设该公司在澳大利亚销量为qA，售价为PA，在拉普兰的销量为qL，售价为PL。 该公司的总成本为：C?0.25q2?0.25?qA?qL?，PA?50?0.5qA，PL?25?0.25qL，因此可得该公司的总利润函数为：
22??qA,qL??PAqA?PLqL?C??0.75qA?50qA?0.5qAqL?0.5qL?25qL
利润最大化的一阶条件为：
????1.5qA?50?0.5qL?0 ?qA????qL?25?0.5qA?0 ?qL解得：qA?30，qL?10。
从而可得PA?50?0.5qA?35，PL?25?0.25qL?22.5。 总利润为??35?30?10?22.5?0.25?402?875。
5．一个集成计算器生产线业务的生产函数为：q?2l。其中，q是完成的计算器产量，
l代表劳动投入的小时数。这个厂商在计算器（售价为P）与劳动（工资率为每小时w）市
场上，都是一个价格接受者。
（1）该厂商的总成本函数是什么？ （2）该厂商的利润函数是怎样的？
（3）计算器的供给函数q?P,w?是怎样的？ （4）该厂商对劳动的需求函数l?P,w?是什么？
解：（1）因为q?2l，q2?4l，所以l?q2/4，该厂商的成本函数为：
C?wl?wq2/4
（2）（3）该厂商的利润函数为：
wq2 ??Pq?C?Pq?4??wq?P??0，解得供给函数为：q?2P/w。 利润最大化的一阶条件为：?q2从而可得利润函数为：??Pq?TC?2P2/w?P2/w?P2/w，关于P和w是一次齐次的。 4P2P2（4）劳动需求函数为：l?p,w??q / 4?2?2。
4ww2
6．优质鱼子酱的市场取决于天气，如果天气很好，便会有许多人买，售价为每磅鱼子酱30美元。天气不好时，每磅只能售20美元。一周前生产的鱼子酱不能保留到下一周，1有一个小规模的鱼子酱生产者的成本函数为：C?q2?5q?100。
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（1）如果厂商希望使其预期利润最大化，它应该生产多少鱼子酱？
（2）假设这个工厂主有这样一个效用函数：U??，其中，?是每周的利润。按（1）中所确定的策略，其预期效用是多少？
（3）这个厂商的业主能通过生产一个不同于（1）和（2）中所得出的具体产量而获得更高的效用吗？并对其加以解释。
（4）假定这个厂商能预测出但不能影响每周的价格，在这种情况下，为使预期利润最大化，应该采取什么策略？这时的预期利润是多少？
解：（1）该厂商的预期利润为：
12E????0.5?30q?Cq?0.520q?Cq??q?20q?100 ???????????2期望利润最大化的一阶条件为：
dE???dq??q?20?0
从而可以解得q?20，因而最大期望利润为：
E????E?P?q?C?q??500?400?100
（2）在两种状态下，当P?30时，利润为：??600?400?200；
当P?20时，利润为：??400?400?0；
因而预期效用为：E?U? ?0.5 ?200 ? 0.5?0 ? 7.1。
（3）这个厂商的业主能通过生产一个不同于（1）和（2）中所得出的具体产量而获得更高的效用。当产出水平介于13和19之间时，效用会高于产量为q?20时所获得的效用。价格P较高时产量减少所导致的利润减少可由价格较低时所增加的利润来补偿。
例如，q?17，此时，当P?30时，利润为：??510?329.5?180.5；
当P?20时，利润为：??340?329.5?10.5；
因而预期效用为：E?U??0.5 ?180.5 ? 0.5?10.5 ? 12.4，因而效用水平提高了。 （4）如果价格可以预测，在每种状态下令P?MC，则当P?30时，q?25，利润为：
??212.5；当P?20时，q?15，利润为：??12.5。因而期望利润为：E????112.5。
业主的期望效用为：E?U?? 0.5?212.5 ?0.5 ?12.5 ?9.06。
7．重型机械学校教授学生如何使用机器。该学校每周可以培训的学生数量为：
q?10min?k,l?
?其中，k是该学校每周租用的反向挖土机的数量；l是该学校每周雇佣的教员的人数；?是表示该生产函数的规模报酬的参数。
（1）解释为什么此处的利润最大化模型要求0???1。 （2）假定??0.5，计算该学校的总成本和利润函数。
（3）如果v?1000，w?500，P?600，则该学校应招收多少学生？它的利润是多少？ （4）如果学生愿意支付的学费是P?900，则该学校的利润将如何变化？
（5）图示该学校对学生的供给曲线，请说明（4）中利润的增加可以在该图中展示出985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解