X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱

1-6 求指数衰减信号x(t)?e?atsinω0t的频谱

x(t) f0 f

指数衰减信号

解答： sin(?0t)?

?e2je?2j11j?0t?e?j?0t? ?

所以x(t)?e?atj?0t?e?j?0t

?at单边指数衰减信号x1(t)?e(a?0,t?0)的频谱密度函数为

X1(f)?????x(t)1e?j?tdt???0e?ate?j?tdt?1a?j??a?j?a??22

根据频移特性和叠加性得：

X(?)?12j?X1(???0)?X1(???0)???0[a?(???0)]222222

?a?j(???0)?1?a?j(???0)??2222?2j?a?(???0)a?(???0)??j2a?0?[a?(???0)][a?(???0)]2222

[a?(???0)][a?(???0)]2

X(ω) φ(ω) π 0 ω -π 0 ω 指数衰减信号的频谱图

1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡

cosω0t(ω0?ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosω0t叫做载波。

试求调幅信号f(t)cosω0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0?ωm时将会出现什么情况？

f(t) F(ω) 0 t -ωm 0 ωm ω 图1-27 题1-7图

解：x(t)?f(t)cos(?0t)

F(?)?F[f(t)] cos(?0t)?121e?2j?0t

?e12?j?0t?

?j?0t所以x(t)?f(t)ej?0t?f(t)e

根据频移特性和叠加性得：

X(f)?12F(???0)?12F(???0)

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。

X(f) -ω0 矩形调幅信号频谱

若ω0?ωm将发生混叠。

2xω0 f

21-8 求正弦信号x(t)?x0sin(ωt?φ)的均值μx、均方值ψx和概率密度函数p(x)。

解答： (1)μx?lim(2)

1T1TT???T0x(t)dt?1T0?T00x0sin(ωt?φ)dt?0，式中T0?2πω—正弦信号周期

ψ?limT???T0x(t)dt?21T0?T00x0sin(ωt?φ)dt?22x02T0?T001?cos2(ωt?φ)2dt?x022

(3)在一个周期内

Tx0?Δt1?Δt2?2Δt

P[x?x(t)?x?Δx]?limTxTT???Tx0T0?2ΔtT0

p(x)?limP[x?x(t)?x?Δx]ΔxΔx?0?lim2ΔtT0ΔxΔx?0?2dtT0dx?π1x0?x22

x(t) Δt Δt x+Δx x t 正弦信号

第二章 测试装置的基本特性

2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？

解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)?0.005(V/nC)?20(mm/V)=9.09mm/MPa。

偏移量：y=S?3.5=9.09?3.5=31.815mm。

2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，

问稳态响应幅值误差将是多少？

解：设一阶系统H(s)?1?s?1，H(?)?11?j??

A(?)?H(?)?11?(??)2?11?(2??T)2，T是输入的正弦信号的周期

稳态响应相对幅值误差??A????1?100%，将已知周期代入得

?58.6%????32.7%?8.5%?T?1sT?2s T?5s

2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t?45?)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。

解：H(?)?11?j0.005?，A(?)?11?(0.005?)2，?(?)??arctan(0.005?)

该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到 其

y(t)=y01cos(10t+?1)+y02cos(100t?45?+?2)

中

y0?(1A11?1?0x02?()01?，.?000?1??(10)??arctan(0.005?10)??2.86? y02?A(100)x02?11?(0.005?100)2?0.2?0.179，

?2??(100)??arctan(0.005?100)??26.57?

所以稳态响应为y(t)?0.499cos(10t?2.86?)?0.179cos(100t?71.57?)

2-4 气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5m/s的上升速度通过大气层。