因数越小，分辨力越高。
4-9 设一带通滤器的下截止频率为fc1，上截止频率为fc2，中心频率为f0，试指出下列记述中的正确与错误。
2）f0?1）倍频程滤波器fc2?2fc1。
fc1fc2。
3）滤波器的截止频率就是此通频带的幅值-3dB处的频率。
4）下限频率相同时，倍频程滤波器的中心频率是1/3倍频程滤波器的中心频率的321
倍。
解答：1）错误。倍频程滤波器n=1，正确的是fc2=2fc1=2fc1。
2）正确。 3）正确。 4）正确。
4-10 已知某RC低通滤波器，R=1k?，C=1?F，试； 1）确定各函数式H(s)；H(?)；A(?)；?(?)。
2）当输入信号ui=10sin1000t时，求输出信号uo，并比较其幅值及相位关系。 解：
R ui(t) i(t) C uo(t)
一阶RC低通滤波器
1）H(s)?1?s?1，H(?)?11?j??
?=RC=1000?10-6=0.001s
H(s)?10.001s?1所以
，H(?)?11?j0.001?
A(?)?11?(0.001?)2，?(?)??arctan0.001?
2）ui=10sin1000t时，?=1000rad/s，所以 A(1000)?11?(0.001?1000)2?22
?(1000)??arctan0.001?1000???4
?4)（稳态输出）
uo?10?A(1000)sin[1000t??(1000)]?52sin(1000t?相对输入ui，输出幅值衰减为52（衰减了-3dB），相位滞后
?4。
4-11已知低通滤波器的频率响应函数
H(?)?11?j??
式中?=0.05s。当输入信号x(t)=0.5cos(10t)+0.2cos(100t-45?)时，求其输出y(t)，并比较y(t)与x(t)的幅值与相位有何区别。 解：A(?)?11?(??)2，?(?)??arctan??
A(10)?11?(0.05?10)2?0.894， ?(10)??arctan(0.05?10)??26.6?
A(100)?11?(0.05?100)2?0.196，?(100)??arctan(0.05?100)??78.7?
比较：输出相对输入，幅值衰减，相位滞后。频率越高，幅值衰减越大，相位滞后越大。 4-12 若将高、低通网络直接串联（见图4-46），问是否能组成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频率特性。
C1 ui(t)
R1
R2 C2
uo(t)
y(t)=0.5?A(10)cos[10t+?(10)]+0.2?A(100)cos[100t-45?+?(100)]
=0.447 cos(10t-26.6?)+0.039cos(100t-123.7?)
图4-46 题4-12图
解：H(s)?
?1s?1?2s?(?1??2??3)s?12
?1=R1C1，?2=R2C2，?3=R1C2
H(?)?j?1???1?2??j(?1??2??3)??12
A(?)??1?
1?1???
?(?)?arctan12?2???(?22??2??3)??21??1?2?(?1??2??3)?
A(0)=0，?(0)=?/2；A(?)=0，?(?)=-?/2，可以组成带通滤波器，如下图所示。
Bode Diagram
0 Magnitude (dB) Phase (deg) -10 -20 -30 -40 -50 90 45 0 -45 -90 ?1 10100 101 102 103 104
Frequency (rad/sec)
4-13 一个磁电指示机构和内阻为Ri的信号源相连，其转角?和信号源电压Ui的关系可用二阶微分方程来描述，即
Id?rdt22?nABd?r(Ri?R1)dt???nABr(Ri?R1)Ui
设其中动圈部件的转动惯量I为2.5?10-5kg?m2，弹簧刚度r为10-3N?m?rad-1，线圈匝数n为100，线圈横截面积A为10-4m2，线圈内阻R1为75?，磁通密度B为150Wb?m-1和信号内阻Ri为125?；1）试求该系统的静态灵敏度（rad?V-1）。2）为了得到0.7的阻尼比，必须把多大的电阻附加在电路中？改进后系统的灵敏度为多少？
nABnAB?s?1s?2rrI?K?n222n解：1）H(s)??(s)Ui(s)?r(Ri?R1)Irs?2r(Ri?R1)IrnABIr(Ri?R1)s?nABr(Ri?R1)nABs?2??ns??
式中：?n?rI，??12Ir(Ri?R1)?，K??4nABr(Ri?R1)
静态灵敏度：K?nABr(Ri?R1)nAB100?1010?3?150?(125?75)1?7.5rad?V?1
阻尼比：??12Ir(Ri?R1)?100?10?5?4?15022.5?10?10?3(125?75)?23.717
固有角频率：?n?rI?102.5?10?5?20rad?s
?1
2）设需串联的电阻为R，则 ??1nAB?122.5?10?5100?10?10?3?4?1502Ir(Ri?R1?R)(125?75?R)?0.7
解得：R?75000.7?2.5?200?6576.3?
改进后系统的灵敏度：K?nABr(Ri?R1?R)?100?1010?3?4?150?(125?75?6576.3)?0.221rad?V?1
第五章 信号处理初步
5-1 求h(t)的自相关函数。
eh(t)?0??at(t?0,a?0) (t?0)解：这是一种能量有限的确定性信号，所以
Rh(?)?????h(t)h(t??)dt???0e?ate?a(t??)dt?12ae?a?
5-2 假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为
x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2)
求该信号的自相关函数。
解：设x1(t)=A1cos(?1t+?1)；x2(t)= A2cos(?2t+?2)，则
Rx(?)?lim12T12TT????T?TT?T[x1(t)?x2(t)][x1(t??)?x2(t??)]dtx1(t)x1(t??)dt?lim12TT??
?limT???T?Tx1(t)x2(t??)dt
2T2T?Rx1(?)?Rx1x2(?)?Rx2x1(?)?Rx2(?)T???TT???lim1?Tx2(t)x1(t??)dt?lim1?T?Tx2(t)x2(t??)dt因为?1??2，所以Rxx(?)?0，Rxx(?)?0。
1221又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以
Rx1(?)??1
??cos??1t??1??1(t??)??1?cos??1t??1??1(t??)??1??dtT1022 T1A1?T1??cos?2?1t??1??2?1?dt??cos(??1?)dt???00??2T1?0?A12T1T12A1?T10A1cos(?1t??1)A1cos[?1(t??)??1]dtT112T1tcos(?1?)0?A122cos(?1?)同理可求得Rx1(?)?A222cos(?2?)
22所以Rx(?)?Rx1(?)?Rx2(?)?A12cos(?1?)?A22cos(?2?)
5-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。