《实验设计与分析》

习题与解答

P41 习题一

1.设用三种方法测定某溶液浓度时，得到三组数据，其平均值如下：

x1?(1.54?0.01)mol/L x2?(1.7?0.2)mol/L x3?(1.537?0.005)mol/L

试求它们的加权平均值。 解：①计算权重：

1w1??10000 20.01w2?1?25 0.221w3??40000 20.005w1:w2:w3?10000:25:40000?400:1:1600

②计算平均值

1.54?400?1.7?1?1.537?1600x??1.538?1.5mol/L

400?1?1600

5.今欲测量大约8kPa（表压）的空气压力，试验仪表用①1.5级，量程0.2MPa的弹簧管式压力表；②标尺分度为1mm的U形管水银柱压差计；③标尺分度为1mm的U形管水柱压差计。 求最大绝对误差和相对误差

解：①?xmax?0.2?1000?1.5%?3kPa

3ER?ER??100%?37.5%

8?33②?xmax?1?10?9.81?13.6?10?133.416Pa?0.133kPa

ER?③?xmax0.133?100%?1.66% 8?1?10?3?9.81?103?9.81Pa?0.00981kPa 0.00981?100%?0.12% 8ER?

6.在用发酵法生产赖氨酸的过程中，对产酸率（%）作6次测定。样本测定值为：3.48, 3.37, 3.47, 3.38, 3.40, 3.43，求该组数据的算术平均值、几何平均值、调和平均值、标准差s、总体标准

2

差σ、样本方差s2、总体方差σ、算术平均误差Δ和极差R。 解：①算术平均值：x?3.48?3.37?3.47?3.38?3.40?3.43?3.42

6②几何平均值：xG?63.48?3.37?3.47?3.38?3.40?3.43?3.42 ③调和平均值：H?6111111?????3.483.373.473.383.403.43?3.42

④标准差：

s??3.48?3.42???3.37?3.42???3.47?3.42???3.38?3.42???3.40?3.42???3.43?3.42?6?1222222?0.0463⑤总体标准差：???3.48?3.42???3.37?3.42???3.47?3.42???3.38?3.42???3.40?3.42???3.43?3.42?6222222222222?0.0422⑥样本方差：

?3.48?3.42???3.37?3.42???3.47?3.42???3.38?3.42???3.40?3.42???3.43?3.42?s2?6?12?0.002122⑦总体方差：

?3.48?3.42???3.37?3.42???3.47?3.42???3.38?3.42???3.40?3.42???3.43?3.42??2?62222?0.00176⑧算术平均误差：

3.48?3.42?3.37?3.42?3.47?3.42?3.38?3.42?3.40?3.42?3.43?3.42???0.03836⑨极差：R=3.48-3.37=0.11

7.A与B两人用同一分析方法测定金属钠中的铁，测得铁含量（μg/g）分别为： 分析人员A：8.0，8.0，10.0，10.0，6.0，6.0，4.0，6.0，6.0，8.0 分析人员B：7.5，7.5，4.5，4.0，5.5，8.0，7.5，7.5，5.5，8.0 试问A与B两人测定铁的精密度是否有显著性差异？（α=0.05） 解：①算术平均值：

8.0?8.0?10.0?10.0?6.0?6.0?4.0?6.0?6.0?8.0xA??7.2

10xB?7.5?7.5?4.5?4.0?5.5?8.0?7.5?7.5?5.5?8.0?6.55

10②方差

(8.0?7.2)2?(8.0?7.2)2?(10.0?7.2)2?(10.0?7.2)2?(6.0?7.2)2?(6.0?7.2)2?(4.0?7.2)2?(6.0?7.2)2?(6.0?7.2)2?(8.0?7.2)2s??3.710?12A2sB?(7.5?6.55)2?(7.5?6.55)2?(4.5?6.55)2?(4.0?6.55)2?(5.5?6.55)2?(8.0?6.55)2?(7.5?6.55)2?(7.5?6.55)2?(5.5?7.2)2?(8.0?6.55)2?2.310?1③统计量

F?3.7?1.6 2.3④临界值

F0.975(9,9)?0.248 F0.025(9,9)?4.03

⑤检验

∵F0.975(9,9)?F?F0.025(9,9)

∴A与B两人测定铁的精密度是无显著性差异

8. 用新旧两种工艺冶炼某种金属材料，分别从两种冶炼工艺生产的产品中抽样，测定产品中的杂质含量（%），结果如下：

旧工艺：2.69，2.28，2.57，2.30，2.23，2.42，2.61，2.64，2.72，3.02，2.45，2.95，2.51 新工艺：2.26，2.25，2.06，2.35，2.43，2.19，2.06，2.32，2.34

试问新冶炼工艺是否比旧工艺生产更稳定，并检验两种工艺之间是否存在系统误差？（α=0.05） 解：

（1）①算术平均值：

2.69?2.28?2.57?2.30?2.23?2.42?2.61?2.64?2.72?3.02?2.45?2.95?2.51?2.57

132.26?2.25?2.06?2.35?2.43?2.19?2.06?2.32?2.34x新??2.25

9②方差x旧?s2旧(2.69-2.57)?(2.28-2.57)?(2.57-2.57)?(2.30-2.57)?(2.23-2.57)?(2.42-2.57)?(2.61-2.57)?(2.64-2.57)?(2.72-2.57)?(3.02-2.57)?(2.45-2.57)?(2.95-2.57)?(2.51-2.57)?13-12222222222222?0.0586(2.26?2.25)2?(2.25?2.25)2?(2.06?2.25)2?(2.35?2.25)2?(2.43?2.25)2?(2.19?2.25)2?(2.06?2.25)2?(2.32?2.25)2?(2.34?2.25)2s??0.01649?12新③F统计量

F?0.0586?3.57

0.0164④F临界值

F0.05(12,8)?3.28

⑤F检验 ∵F>F0.05(12,8)

∴新冶炼工艺比旧工艺生产更稳定 （2）①t统计量

t?x旧?x新22s新s旧?n旧n新?2.57?2.25=4.02

0.05860.0164?1392②自由度

222?s旧?s新0.05860.0164????????nn139?旧新???df?-2?-2=20 222222?s新??0.0586??0.0164??s旧?????????13??9??nn??旧???新?13?19?1n旧?1n新?1③t临界值

t0.025(20)?2.086

④t检验 ∵t>t0.025(20)

∴两种工艺之间存在系统误差

9. 用新旧两种方法测得某种液体的黏度（mPa·s），如下： 新方法：0.73，0.91，0.84，0.77，0.98，0.81，0.79，0.87，0.85 旧方法：0.76，0.92，0.86，0.74，0.96，0.83，0.79，0.80，0.75

其中旧方法无系统误差，试在显著性水平α=0.05时，检验新方法是否可行。 解：

t检验法（成对数据的比较）

t统计量

di分别为-0.03，-0.01，-0.02，0.03，0.02，-0.02，0.00，0.07，0.10

d??di?1nin??0.03?(?0.01)?(?0.02)?0.03?0.02?(?0.02)?0.00?0.07?0.10?0.01569

若两种方法之间无系统误差，则可设d0=0.00

sd??(di?1ni?d)2?n?1(?0.03?0.0156)2?(?0.01?0.0156)2?(?0.02?0.0156)2?(0.03?0.0156)2?(0.02?0.0156)2?(?0.02?0.0156)2?(?0.00?0.0156)2?(0.07?0.0156)2?(0.10?0.0156)2?0.0449?1

t?d?d00.0156?0.00 n?9=1.06sd0.044② t临界值

t0.025(8)?2.306

③ t检验 ∵t

秩和检验法

①数据排序

秩 新方法 旧方法 1 0.73 2 0.74 3 0.75 4 0.76 5 0.77 6.5 0.79 6.5 0.79 8 0.8 9 0.81 10 0.83 11 0.84 12 0.85 13 0.86 14 0.87 15 0.91 16 0.92 17 0.96 18 0.98 ②秩 R1=1+5+6.5+9+11+12+14+15+18=91.5 ③秩临界值 T1=66 T2=105 ④秩检验 ∵T1

∴新方法是可行的

10.对同一铜合金，有10个分析人员分别进行分析，测得其中铜含量（%）的数据为：62.20，69.49，70.30，70.65，70.82，71.03，71.22，71.33，71.38（%）。问这些数据中哪个（些）数据应被舍去，试检验？（α=0.05） 解：

拉依达检验法

（1）①平均值

62.20?69.49?70.30?70.65?70.82?71.03?71.22?71.25?71.33?71.38x??69.967

10∵最大值的偏差71.38?69.967?1.413 最小值的偏差62.20?69.967?7.767 7.767>1.413 ∴首先检验62.20

②样本标准差

s?(62.20?69.967)2?(69.49?69.967)2?(70.30?69.967)2?(70.65?69.967)2?(70.82?69.967)2?(71.03?69.967)2?(71.22?69.967)2?(71.25?69.967)2?(71.33?69.967)2?(71.38?69.967)2?2.7910?12s=5.58 ③检验

dp?62.20?69.967?7.767

∴dp?2s ∴62.20应该被去除

（2）①平均值x'?69.49?70.30?70.65?70.82?71.03?71.22?71.25?71.33?71.38?70.83

9∵最大值的偏差71.38?70.83?0.55 最小值的偏差69.49?70.83?1.34 0.55<1.34

∴首先检验69.49 ②样本标准差

s?(69.49?70.83)2?(70.30?70.83)2?(70.65?70.83)2?(70.82?70.83)2?(71.03?70.83)2?(71.22?70.83)2?(71.25?70.83)2?(71.33?70.83)2?(71.38?70.83)2?0.6159?1

2s=1.23 ③检验

d'p?69.49?70.83?1.34

∴dp?2s ∴69.49应该被去除 （3）

①平均值x''?70.30?70.65?70.82?71.03?71.22?71.25?71.33?71.38?70.998

8'∵最大值的偏差71.38?70.998?0.382 最小值的偏差70.30?70.83?0.8 0.8>0.382

∴首先检验70.30 ②样本标准差

s''?(70.30?70.998)2?(70.65?70.998)2?(70.82?70.998)2?(71.03?70.998)2?(71.22?70.998)2?(71.25?70.998)2?(71.33?70.998)2?(71.38?70.998)2?0.388?1

2s’’=0.76 ③检验

''dp?70.30?70.998?0.698 ''∴dp?2s

∴70.30不应该被去除

∴只有62.20和69.49应该被去除

格拉布斯检验法