2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（ ） A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i

2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A．y=2xB．y=x3+xC．

D．y=﹣log2x

4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

A．15B．21C．24D．35 5．已知向量

，

，其中x∈R．则“x=2”是“

”成立的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件

6．直线l：（t为参数）与圆C： （θ为参数）的位置关系是（ ）

A．相离B．相切

C．相交且过圆心D．相交但不过圆心

7．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，

则a的值为（ ） A．

B． C． D．1

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8．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值是（ ）

A．48B．16C． D．144

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9．（x2+）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答） 10．抛物线y2=﹣8x的准线与双曲线

的两条渐近线所围成的三角形面积

为 ．

11．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 （单位：cm2）．

12．已知函数f（x）=，则= ；f（x）的

最小值为 ．

13．某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克．假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用．若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是 毫克，若该患者坚持长期服用此药 明显副作用（此空填“有”或“无”）． 14．设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使

的个数有 个．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

成立的点M

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15．已知函数

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）若

，x∈R．

，求函数f（x）的单调递增区间．

16．在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了A，B两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题A可获得100分，答对问题B可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题．答题终止后，获得的总分决定获奖的等次．若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对A，B问题的概率分别为

．

（Ⅰ）记甲先回答问题A再回答问题B得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由．

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，等边△PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且AD=2． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角P﹣EB﹣A的余弦值；

（Ⅲ）在线段AB上是否存在点M，使线段PM与△PAD所在平面成30°角．若存在， 求出AM的长，若不存在，请说明理由．

18．已知函数f（x）=x2﹣lnx．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围． 19．已知椭圆E：（Ⅰ）求椭圆E的方程；

B两点，（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、且线段AB的垂直平分线经过点（O为坐标原点）面积的最大值． 20．在数列{an}中，a1=0，

，其中m∈R，n∈N*．

．求△AOB

（a＞b＞0）的离心率

，且点

在椭圆E上． 上（这里e≈2.718）

（Ⅰ）当m=1时，求a2，a3，a4的值；

（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； （Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得ak＞2020．

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2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（ ） A．2+iB．2﹣iC．﹣2+iD．﹣2﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用i2=﹣1，结合复数的乘法，即可得到结论． 【解答】解：由题意，i（2i+1）=i×2i+i=﹣2+i 故选C．

2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|log2x＜1}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2} 【考点】交集及其运算．

【分析】先化简集合，即不等式x2＜1，和对数不等式log2x＜1，再求交集． 【解答】解：集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}， 则A∩B={x|0＜x＜1}， 故选：B．

3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A．y=2xB．y=x3+xC．

D．y=﹣log2x

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和y=x3的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A．y=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误； B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）； ∴该函数为奇函数；

y=x3和y=x在R上都是增函数；

∴y=x3+x在R上是增函数，∴该选项正确； C．反比例函数

在定义域上没有单调性，∴该选项错误；

D．y=﹣log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误． 故选：B．

4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）

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A．15B．21C．24D．35 【考点】程序框图．

【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．

【解答】解：模拟执行程序，可得 S=0，i=1

T=3，S=3，i=2

不满足i＞4，T=5，S=8，i=3 不满足i＞4，T=7，S=15，i=4 不满足i＞4，T=9，S=24，i=5

满足i＞4，退出循环，输出S的值为24． 故选：C．

5．已知向量

，

，其中x∈R．则“x=2”是“

”成立的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】，可得x2﹣4=0，解得x即可判断出结论． 【解答】解：∵，∴x2﹣4=0，解得x=±2． ∴“x=2”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A．

6．直线l：（t为参数）与圆C： （θ为参数）的位置关系是（ ）

A．相离B．相切

C．相交且过圆心D．相交但不过圆心 【考点】参数方程化成普通方程．

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