=

∵﹣6＜m＜0，∴m=﹣3时，由m=﹣3，∴1+4k2=18，解得即

，

．

；

时，（S△AOB）max=1；

综上：（S△AOB）max=1．

20．在数列{an}中，a1=0，

，其中m∈R，n∈N*．

（Ⅰ）当m=1时，求a2，a3，a4的值；

（Ⅱ）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； （Ⅲ）当m＞时，证明：存在k∈N*，使得ak＞2020． 【考点】数列递推式． 【分析】（Ⅰ）a1=0，

，其中m∈R，n∈N*．当m=1时，可得a2，同理可得a3，

a4．

（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，则a3﹣a2=a4﹣a3，可得：a3+a2﹣1=0．将a2=m，a3=m2+m代入上式，解得m即可得出． （Ⅲ）由于an+1﹣an=

+m﹣an=

+

≥m﹣，又

，令d=m﹣＞

，即可得出．

0．利用累加可得：an﹣a1≥（n﹣1）d，即an≥（n﹣1）d．取正整数【解答】解：（Ⅰ）∵a1=0，

，其中m∈R，n∈N*．

当m=1时，a2=0+1=1，同理可得a3=2，a4=5．

（Ⅱ）假设存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列， 则a3﹣a2=a4﹣a3， 即∴

﹣a2=

+m﹣a3，

，即（a3﹣a2）（a3+a2﹣1）=0．

∵a3﹣a2≠0，∴a3+a2﹣1=0．

将a2=m，a3=m2+m代入上式，解得m=﹣1． 经检验，此时a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． ∴存在得m=﹣1，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列． （Ⅲ）∵an+1﹣an=又

+m﹣an=

+

≥m﹣，

，∴令d=m﹣＞0．

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由 an﹣an﹣1≥d， an﹣1﹣an﹣2≥d， …

a2﹣a1≥d，

将上述不等式相加，得 an﹣a1≥（n﹣1）d，即an≥（n﹣1）d． 取正整数

，就有ak≥（k﹣1）d＞

=2020．

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2020年7月18日

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