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圆锥曲线中的综合问题

一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 已知F为抛物线与

的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

其中O为坐标原点，则

面积之和的最小值是

A. 2 B. 3 C. （正确答案）B

D.

解：设直线AB的方程为：直线AB与x轴的交点为

，

，点，，

由

，

结合

及

，得

，根据韦达定理有

，

，

，故

．

，

点A，B位于x轴的两侧，

不妨令点A在x轴上方，则，又，

，

．

当且仅当

与

，即时，取“”号，

面积之和的最小值是3，故选B．

消元，

可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

求解本题时，应考虑以下几个要点：

1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．

2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．

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3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．

2. 已知椭圆E：的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：交椭圆E于A，B

两点，若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是

A. B. C. D.

（正确答案）A

解：如图所示，设为椭圆的左焦点，连接

，

，．

，则四边形

是平行四边形，

取，点M到直线l的距离不小于，，解得．

．

椭圆E的离心率的取值范围是故选：A．

．

如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，可得

取，由点M到直线l的距离不小于，可得，解得再利用

离心率计算公式即可得出．

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3. 已知点是椭圆C：的左顶点，过点P作圆O：

的值是

的切线，切点为A，B，

若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 （正确答案）C

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解：由题意，过点P作圆O：

，，

．

的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F， ， ， ，

故选C． 由题意，即可求出

过点P作圆O：的值．

的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，可得

，

本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

4. 已知抛物线垂足为K，则A. 4 B.

C.

的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的面积为 D. 8

的直线与抛物线在x轴上方的部分交于A点，

，

（正确答案）C 解：由抛物线的定义可得

的斜率等于

，故

又焦点设

，

，则

的倾斜角等于为等边三角形．

， ，

，

，AF的方程为

，

，

由得

，故等边三角形

的边长

，

，

的面积是

故选：C． 先判断

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，

为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边的边长的值，的面积可求．