C 为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；

(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

y?Acos(Bt?Cx) (x?0)

将上式与波动方程的标准形式

y?Acos(2??t?2?比较，可知： 波振幅为A，频率??波长??x?)

B， 2?2?B，波速u????， CC12?波动周期T??．

?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程

y?Acos(Bt?Cl)

(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 ???将x2?x1?d，及??2??(x2?x1)

2?代入上式，即得 C???Cd．

5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，

t以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x=0.2mt=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式

y?Acos(2??t?2??x)

?1?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1

amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

(3)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为

x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ??9.2π． 设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

5-10 如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?

解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有

题5-10图

对于O点：∵yO?0,vO?0，∴?O??2

对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0 对于B点：∵yB?0,vB?0，∴?B???23?对于C点：∵yC?0,vC?0，∴?C??

2(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相)

(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有

?????0,vO??0，∴?O对于O点：∵yO?2

??对于A点：∵y?A??A,vA?0，∴?A?0

? 23?????0,vC??0，∴?C对于C点：∵yC

2?对于B点：∵y?B?0,vB?0，∴?B? (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)

-1

5-11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m·s，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；

(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．

解: (1)由题5-11(a)图知，A?0.1 m，且t?0时，y0?0,v0?0，∴?0?3?， 2又??u??5?2.5Hz，则??2???5? 2题5-11图(a)

取 y?Acos[?(t?)??0]， 则波动方程为

xuy?0.1cos[5?(t?(2) t?0时的波形如题5-11(b)图

x3??)]m 52

题5-11图(b) 题5-11图(c) 将x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为

y?0.1cos(5?t?5??0.53??)?0.1cos(5?t??)m 0.52如题5-11(c)图所示．

5-12 如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；

(2)P点的振动方程．

t?0时，y0?0,v0?0，解: (1)由题5-12图可知，A?0.1m，??4m，又，∴?0?而u??，2?x1u2??2m?s?1，????0.5 Hz，∴??2???? ?t0.5?4x?y?0.1cos[?(t?)?]m

22故波动方程为

(2)将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为

y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m

题5-12图

-1

5-13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m·s ，波长为2m，求： (1)波动方程；

(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；

(4) P点回到平衡位置所需的最短时间．

t?0时，y0?解: 由题5-13图可知A?0.1m，

u?10m?s?1，则??A?,v0?0，∴?0?，由题知??2m， 2310?5Hz

?2∴ ??2???10?

?(1)波动方程为

uy?01.cos[10?(t?x?)?]m 103

题5-13图

(2)由图知，t?0时，yP??取负值)

∴P点振动方程为yp?0.1cos(10?t?(3)∵ 10?(t?A?4?,vP?0，∴?P? (P点的位相应落后于0点，故234?) 3x?4)?|t?0??? 10335∴解得 x??1.67m

3(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位相角

题5-13图(a)

???∴所属最短时间为

?3??5?? 26?t?????5?/61?s 10?125-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为yP=A cos(?t??0)．

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程； (2)写出距P点距离为b的Q点的振动方程． 解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为

y?Acos[?(t?如图(b)，则波动方程为

lx?)??0] uu

题5-14图

y?Acos[?(t?(2) 如题5-14图(a)，则Q点的振动方程为 AQ?Acos[?(t?如题5-14图(b)，则Q点的振动方程为

x)??0] ub)??0] ubAQ?Acos[?(t?)??0]

u5-15 已知平面简谐波的波动方程为y?Acos?(4t?2x)(SI)．

(1)写出t=4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点?

(2)画出t=4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足

?(4t?2x)?2k? 解得 x?(k?8.4) m (k?0,?1,?2,…) 所以离原点最近的波峰位置为?0.4m． ∵4?t?2?t??t?∴ ?t???xu?1 故知u?2m?s,

?0.4?0.2s，这就是说该波峰在0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应2是4.2?0.2?4s，即该波峰是在4s时通过原点的．