题4-3图
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2xmgsin??T1?m2 ①
dtT1R?T2R?I? ②
d2x 2?R? T2?k(x0?x) ③
dt式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
Id2x(mR?)2??kxR
RdtkR2令 ??
mR2?I2则有
d2x??2x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
mR2?Im?I/R2T??2?(?2?)
?KkR22?4-4 质量为10?10作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?3按x?0.1cos(8??kg的小球与轻弹簧组成的系统，
2?)3(SI)的规律
?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：
A?0.1m,??8?,?T?2???1s,?0?2?/3 4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?am?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
12112kx??(kA) 222∴ x??22A??m 220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数
表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 2(4)过x??A2处向正向运动．
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
?x0?Acos?0解：因为 ?
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1???2???3??332?4?5?42?t??) T2?3x?Acos(t??)
T22??x?Acos(t?)
T32?5x?Acos(t??)
T4x?Acos(4-6 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为
2??0.5?Trad?s?1
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
?3?2?3
A?,且v?0,故?t? 23????2?/?s ∴ t??323t?t时 x0?? (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
E?121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度
v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．
解：
m1g1.0?10?3?9.8?1 k???0.2N?m?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正) 又 ??k0.22???5,即T??1.26s m?8?10?3v0?2A?x0?(?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()
5?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?54∴ x?52?10?2cos(5t??)m
4
4-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
题4-8图
解：由题4-8图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0?即 ??3?,又,A?10cm,T?2s 22???Trad?s?1
3?)m 2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0?,v0?0,??0?
23故 xa?0.1cos(?t?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???2
又 ?1???1???∴ ??535? 25? 6565?)m 34-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
故 xb?0.1cos(?t?(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程． 解：(1)空盘的振动周期为2?MM?m，落下重物后振动周期为2?，即增大． kkmg．碰撞时，以m,M为一系统k(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t?0时，则x0??动量守恒，即
m2gh?(m?M)v0
m2gh则有 v0?
m?M于是
mg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)20v02
?mg2kh1?k(m?M)g（3）tan?0??v02kh (第三象限)，所以振动方程为 ?x0?(M?m)g?k2kh?cos?t?arctan?
m?M(M?m)g??mg2khx?1?k(m?M)g?34-10 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，当摆球处在平衡位置时，若?4?1给小球一水平向右的冲量F?t?1.0?10kg?m?s，取打击时刻为计时起点(t?0)，求
振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有
F??t?mv?0
F??t1.0?10?4??0.01∴ v?m1.0?10?3m?s-1
?1按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s ＞0
∴ ?0?3?/2 又 ??g9.8??3.13rad?s?1 l1.0