专题能力训练21 不等式选讲

一、能力突破训练

1.若a>0,b>0,且.

(1)求a3+b3

的最小值;

(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.

2.设函数f(x)=+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2;

(2)若f(3)<5,求a的取值范围.

3.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4]. (1)求m的值;

(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2

的最小值.

4.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

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5.(2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

二、思维提升训练

6.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.

(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围; (2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.

7.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|. (1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;

(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.

8.已知函数f(x)=-x2

+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

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专题能力训练21 不等式选讲(选修4—5)

一、能力突破训练

1.解 (1)由

,得ab≥2,且当a=b=时等号成立. 故a3

+b3

≥2

≥4

,且当a=b=时等号成立.

所以a3

+b3

的最小值为4.

(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4

.

由于4

>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.

2.(1)证明 由a>0,有f(x)=+|x-a|≥

+a≥2.故f(x)≥2.

(2)解 f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3

当0

由f(3)<5,得

综上,a的取值范围是. 3.解 (1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,

∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1. ∵其解集为[0,4],

∴m=3.

(2)由(1)知a+b=3.

(方法一:利用基本不等式)

∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,当且仅当a=b=∴a2+b2的最小值为

.

(方法二:消元法求二次函数的最值) ∵a+b=3, ∴b=3-a,

∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,

∴a2+b2的最小值为

.

4.(1)解 f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;

当-

当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1

(2)证明 由(1)知,当a,b∈M时,-1

从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2

-1= (a2-1)(1-b2

)<0.因此|a+b|<|1+ab|.

5.解 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=

时取等号,

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