最新中线倍长法及截长补短经典讲义名师精心制作教学资料 下载本文

几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法:

例1 、求证:三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知:如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:AD ﹤

A1 2BDC(AB+

EAC)

小结:涉及三角形中线问题时,常采用延长中线一倍的办法,即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中,以利于问题的获解。

例2、中线一倍辅助线作法

AA△ABC中 方式1: 延长AD到E, AD是BC边中线 使DE=AD,

BDCBD 方式2:间接倍长

C连接BE

EA ACF⊥AD于F, 方式3:作延长MD到N, MB 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD, DCBF连接BE 连接CD N

例4、已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CE

课堂练习:已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线, 求证:∠C=∠BAE

BDCAE例3、△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围

DCEFABEDC 作业:

1、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论

2、已知:如图,证:CT=BE.

3:已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:AF=EF

(二)截长补短法

教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法,在无法进行直接证明的情形下,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1.

已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求证:∠BAD+∠BCD=180°.

分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角,图中缺少全等的三角形,因而解题的关键在于构造直角三角形,可通过“截长补短法”来实现.

证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F,如图1-2

∵BD平分∠ABC,∴DE=DF, 在Rt△ADE与Rt△CDF中,

ADEBEFCDAAB于M,AT平分 A BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求

D ABC中,C=90?,CM

M B E T C ADB图1-1

C?DE?DF ?AD?CD?∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.

B图

1-2

FC又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°, 即∠BAD+∠BCD=180°.

例2. 如图2-1,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.

求证:CD=AD+BC.

分析:结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的. 证明:在CD上截取CF=BC,如图2-2

在△FCE与△BCE中,

?CF?CB???FCE??BCE ?CE?CE?∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1.

又∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°, ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°,∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中,

DA4E321FCB图2-2

??FDE??ADE? ?DE?DE??3??4?∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA, ∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC.

例3. 已知,如图3-1,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.

求证:∠BAP+∠BCP=180°.

分析:与例1相类似,证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角,即证明∠BCP=∠EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造. 证明:过点P作PE垂直BA的延长线于点E,如图3-2

∵∠1=∠2,且PD⊥BC,∴PE=PD, 在Rt△BPE与Rt△BPD中,

APN?PE?PD ?BP?BP?∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.

∵AB+BC=2BD,∴AB+BD+DC=BD+BE,∴AB+DC=BE即

B12DC图3-1

EAPNDC=BE-AB=AE.

在Rt△APE与Rt△CPD中,

?PE?PD???PEA??PDC ?AE?DC?∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD 又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°

例4. 已知:如图4-1,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2.

B12DAC图3-2

12BDC图4-1