《实变函数》综合训练题（四）

（含解答）

一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）

1、设E是[0,1]中的有理点全体，则（C、D）[考核对典型集合掌握的情况] （A）E是闭集 （B）E中的每一点都是内点 （C）E是可数集 （D）mE?0 2、设E是[0,1]中的无理点全体，则（C、D）

（A）E是可数集 （B）E是闭集 （C）E中的每一点都是聚点 （D）mE?0 3、若E?R1的外测度为零，则（ B、D ）[考核零测集的特点] （A）E一定是可数集 （B）E一定是可测集 （C）E不一定是可数集 （D）mE?0

4、若E?R1至少有一个内点，则（ B、D ）[考核典型集的外测度可数性的特点]

**（A）mE可以等于零 （B）mE?0 （C）E可能是可数集 （D）E是不可数集

5、设mE???(E?R)，函数列{fn(x)}为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，若fn(x)?f(x)(x?E)，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）

[考核可测函数与勒贝格积分的简单综合]

（A）?f(x)dx存在 （B）f(x)在E上L可积

En（C）fn(x)?f(x)(x?E) （D）lim?fn(x)dx??f(x)dx

n??EEa.e.6、设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数XE(x)是 （A、B、C ）[考核特征函数的特点]

（A）[a,b]上的简单函数（B）[a,b]上的可测函数 （C）E上的连续函数（D）[a,b]上的连续函数

7、若f(x)在可测集E上有L积分值，则（A、C ）[考核勒贝格积分的定义]

（A）f(z)和f(z)中至少有一个在E上L可积 （B）f(z)和f(z)都在E上L可积 （C）f(z)在E上也有L积分值 （D）f(z)在E上一定L可积 8、设f(x)在可测集E上L可积，则（ B、D ）[考核勒贝格积分的定义]

（A）f(z)和f(z)有且仅有一个在E上L可积 （B）f(z)和f(z)都在E上L可积

????????（C）f(z)在E上不一定L可积 （D）f(z)在E上一定L可积

9、设f(z)是[a,b]的绝对连续函数，则（ A、B、C ）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]

（A）f(z)是[a,b]上的连续函数 （B）f(z)是[a,b]上的一致连续函数 （C）f(z)是[a,b]上的有界变差函数 （D）f(z)在[a,b]上处处可导

10、设f(z)是[a,b]的单调函数，则（ A、C、D）[考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质]

（A）f(z)是[a,b]的有界变差函数 （B）f(z)是[a,b]的绝对连续函数 （C）f(z)在[a,b]上几乎处处连续 （D）f(z)在[a,b]上几乎处处可导 二、单项选择题 （每题仅有一个正确答案）

1．设E是[0,1]中的无理点全体，则E是（ Ｃ ）.[考核对典型集合掌握的情况] （Ａ）可数集 （Ｂ）有限集 （Ｃ）不可数集 （Ｄ）零测集 2．下面集合关系成立的是（ Ａ ）. [考核对集合的基本运算掌握的情况]

（Ａ）(A\\B)?B?A?B （Ｂ）(A\\B)?B?A （Ｃ）(B\\A)?A?A （Ｄ）B\\A?A 3．若E?R2至少有一个内点，则有（Ｂ ）. [考核对典型集合外测度掌握的情况]

**（Ａ）mE?0 （Ｂ）mE?0 （Ｃ）mE?0（Ｄ）mE?0 4．设E?R2是开集，则（ Ｂ ）.[考核开集闭集的基本特征] （Ａ）E??E （Ｂ）E?E （Ｃ）E?E （Ｄ）E??E

5．设E?[a,b]是可测集，则E的特征函数XE(x)是[a,b]上的（Ａ）. [考核对集合的特征函数的认识]

（Ａ）简单函数 （Ｂ）常函数 （Ｃ）连续函数（Ｄ）单调函数 6．设Q?[0,1]是有理数集，D(x)??0?1,x?Q,则D(x)是[0,1]上的（Ｃ）.[考核目标同上

0,x?Q?题]

（Ａ）连续函数（Ｂ）单调函数（Ｃ）简单函数（Ｄ）定积分存在的函数 7．设f(x)在可测集E上勒贝格可积，则（Ｂ）. [考核勒贝格积分的定义]

（Ａ）f(x)和f(x)有且仅有一个在E上勒贝格可积；（Ｂ）f(x)和f(x)都在E上勒贝格可积

??（Ｃ）f(x)和f(x)都在E上不勒贝格可积；（Ｄ）f(x)?f(x)?f(x)在E上不勒

??????贝格可积

8．设W是[0,1]上的无理数集，c表示连续基数，则（Ｄ）. [考核对典型集合基数和测度掌握的情况]

（Ａ）W?c （Ｂ）W?c （Ｃ）mW?0 （Ｄ）mW?1

9．设f(x)是[a,b]上的单调函数，则f(x)是[a,b]上的（Ｄ）. [考核基本的有界变差函数和绝对连续函数]

（Ａ）连续函数 （Ｂ）绝对连续函数 （Ｃ）可导函数 （Ｄ）有界变差函数

10．设f(x)在[a,b]上绝对连续，则f(x)在[a,b]上（Ａ）.[考核绝对连续函数的关系的基本性质]

（Ａ）有界变差 （Ｂ）可导 （Ｃ）单调 （Ｄ）连续可微

三、填空题

1．设A，B为X的两个子集，则A\\B 等于 A?BC ．[考核集合之间的基本关系] 2．设A，B为两个集合，则A?B 等于 (B\\A?) A．[考核目标同上]

3．设E?Rn，如果E满足E??E，则E是 闭 集．[考核开集、闭集的定义] 4．设E?Rn，如果E中的每一点都是内点，则E是 开 集．[考核开集、闭集的定义]

5．若开区间(?,?)是直线上开集G的一个构成区间，则(?,?)满足(?,?)?G且

?,??G．[考核开集的构成区间的定义和特点]

6．设E是R1上的开集,若开区间(a,b)满足(a,b)?E且a,b?E,则称(a,b)是开集E的 构成 区间．[考核开集的构成区间的定义和特点]

7．设A是无限集，则A的基数A 大于或等于 a（其中a表示可数基数）．[考核可数集的性质]

8．设A是偶数集，则A的基数A 等于 a（其中a表示可数基数）．[考核可数集的性质]

9．设E1，E2为可测集，mE2???，则m(E1\\E2) 大于或等于 mE1?mE2．[考核测度的性质，单调性和次可加性]

10．设A，B为可测集，则m(A?B) 小于或等于 mA?mB．[考核测度的性质，次可加性]

11．设f(x)是定义在可测集E上的实函数，若对任意实数a，都有E[xf(x)?a]是 可测集 ，则称f(x)是可测集E上的可测函数. [考核可测函数的定义]

()b?]12．设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a，b(a?b)，有E[xa?fx是

可测 集. [考核可测函数的基本性质]

13．设E?R1是可数集，则mE 等于 0.[考核典型集合的测度和外测度] 14．设P?[0,1]是康托集，则mP 等于 0.[考核典型集合的测度和外测度]

15．设函数列{fn(x)}为可测集E上的可测函数列，且fn(x)在E上依测度收敛于f(x)，则存在{fn(x)}的子列{fn(x)}，使得fn(x)在E上 几乎处处收敛于 f(x). [考核函数列

kk*收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理]

16．设mE???,{fn(x)}是E上的可测函数列，f(x)是E上的实函数,若fn(x)在E上几乎处处收敛于f(x)，则fn(x)在E上 依测度 收敛于f(x).[考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理]

17．设f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 ．[考核黎曼积分与勒贝格积分的关系]

18．设f(x),g(x)都在[a,b]上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[a,b]上勒贝格积分 值 相等 ．[考核勒贝格积分的基本性质]

19．若f(x)是[a,b]上的绝对连续函数，则f(x) 是 [a,b]上的有界变差函数．[考核有界变差函数和绝对连续函数的关系]

20．若f(x)是[a,b]上的有界变差函数，则f(x)可以表示成两个单调函数的 和或差 ．[考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理]

四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由） 1．无限个闭集的并集仍为闭集．[考核开集、闭集的性质] 答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。

2．无限个开集的交集仍为开集．[考核开集、闭集的性质] 答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。

3．无限集均含有一个可数子集．[考核可数集的性质] 答：对，因为这是可数集与无限集的关系。

4．无限集都是可数集．[考核无限集的分类] 答：不对，因为无限集还包括不可数集。

5．设E是可测集，则一定存在G?型集G，使得E?G，且m(G\\E)?0．[考核可测集