《运筹学》实验教学指导书

实验类别：课内实验 所属课程名称：运筹学 实验学时：8 所属课程编码：N02081307 实验室名称：大学数学实验中心 实验室类别：基础实验教学中心

参考书目：《运筹学》(胡运权等编著，高等教育出版社)、《运筹学模型与方法教程》(程理民编，清华大学出版社)、《运筹学》(牛映武编，西安交通大学出版社)、MATLABR2012a完全自学一本通（刘浩 韩晶编著，电子工业出版社）

适用专业：信息与计算科学 数学与应用数学

序号 实验一 实验二 实验三 实验四 实验名称 利用单纯形法求解线性规划 利用对偶单纯形法求解线性规划 灵敏度分析 整数线性规划 学时 2 2 2 2 页码 2 13 23 35

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实验一 利用单纯形法求解线性规划

一、实验目的

使学生了解lindo系统，熟练掌握利用lindo软件，利用单纯形法求解线性规划问题。 二、实验内容及要求

1. 安装Lindo6.1软件, 启动lindo6.1, 熟悉lindo6.1求解线性规划的过程和步骤。 2． 对教材《运筹学基础及应用》上第一章线性规划及单纯形法的几个例子（有唯一解，有无穷多解，有无界解，无可行解）编写简单的LINDO程序，会利用lindo软件求解。

3．根据实际问题建立线性规划数学模型，利用lindo软件求解。 4. 对于给出的线性规划模型，利用lindo软件求解。 三、实验的重点和难点

1. 实验的重点：单纯形法。

2. 实验的难点：线性规划模型的正确建立。 四、实验准备

实验室电脑需要安装lindo软件。lindo软件在线性规划中的使用说明： 1. 安装Lindo软件

安装过程中，用户只需要按照程序给出的提示，一步一步走下去，直到安装成功为止。 第一次运行刚安装的LINDO软件时，系统会弹出一个对话框，要求你输入密码（Password）。如果你买的是正版软件，请在密码框中输入LINDO公司给你提供的密码，然后按“OK” 按钮即可。否则，你只能使用演示版(即试用版)，按下“Demo Version(演示版)” 按钮即可。 进入lindo软件的输入界面:

2．会编写一个简单的LINDO程序 例如，一个线性规划（LP）问题：

Max

在空白的模型窗口中输入这个LP模型：

max 2x+3y

st 4x+3y<=10 3x+5y<=12 end

如图：

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s..tz?2x?3y4x?3y?103x?5y?12x,y?0

LINDO程序有以下特点：

1)程序以“MAX”（或“MIN”）开始，表示目标最大化（或最小化）问题，后面直接写出目标函数表达式和约束表达式；

2)目标函数和约束之间用“ST”分开或用“s.t.”，“sunject to” ； 3)程序以“END”结束（ “END” 也可以省略）; 4)系数与变量之间的乘号必须省略;

5)系统对目标函数所在行自动生成行名“1）”,对约束默认的行名分别是“2)” “3)”…，用户也可以自己输入行名；行名放在对应的约束之前;

6)书写相当灵活，不必对齐，不区分字符的大小写; 7)默认所有的变量都是非负的, 所以不必输入非负约束; 8)约束条件中的“<=” 及“>=”可分别用“<” 及“>”代替;

9)一行中感叹号“！”后面的文字为是注释语句，可增强程序的可读性，不参与模型的建立。 3. 会模型求解

用鼠标点击工具栏中的图标，或从菜单中选择Solve|Solve（Ctrl+S）命令, LINDO首先开始编译这个模型，编译没有错误则开始求解；求解时会首先显示如右图所示的LINDO“求解器运行状态窗口 ”:

求解器运行状态窗口显示的相应信息及含义： 名称 Status （当前状态） Iterations（迭代次数） 含义 显示当前求解状态：“Optimal”表示已经达到最优解；其他可能的显示还有三个：Feasible(可行解), Infeasible(不可行), Unbounded(最优值无界)。 显示迭代次数：“2”表示经过了2次迭代。 - 3 -

Infeasibility （不可行性） 约束不满足的量(即各个约束条件不满足的“数量”的和；特别注意不是“不满足的约束个数”)：“0”表示这个解是可行的。 Objective（当前的目标值） 显示目标函数当前的值：7.45455。 Best IP（整数规划当前的最佳目标值） 显示整数规划当前的最佳目标值：“N/A” （No Answer或Not Applicable）表示无答案或无意义，因为这个模型中没有整数变量，不是整数规划（IP）。 IP Bound（整数规划的界） 显示整数规划的界（对最大化问题显示上界；对最小化问题，显示下界）：“N/A”含义同上。 Branches（分枝数） Elapsed Time （所用时间） Update Interval （刷新本界面的时间间隔） Interrupt Solver （中断求解程序） Close（关闭） 显示分枝定界算法已经计算的分枝数： “N/A”含义同上。 显示计算所用时间（秒）：“0.00”说明计算太快了，用时还不到0.005秒。 显示和控制刷新本界面的时间间隔：“1”表示1秒；用户可以直接在界面上修改这个时间间隔。 当模型规模比较大时（尤其对整数规划），可能求解时间会很长，如果不想再等待下去时，可以在程序运行过程中用鼠标点击该按钮终止计算。求解结束后这个按钮变成了灰色，再点击就不起作用了。 该按钮只是关闭状态窗口，并不终止计算。如果你关闭了状态窗口，将来随时可以选择WINDOW | OPEN STATUS WINDOW 菜单命令来再次打开这个窗口。 紧接着弹出一对话框，询问你是否需要做灵敏性分析（DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? ）先选择“否（N）”按钮，这个窗口就会关闭。然后，再把状态窗口也关闭。

4.通过报告窗口得到线性规划的解

用鼠标选择“Reports”（报告窗口）下拉菜单选项“solution”，就可以查看该窗口的内容

从报告窗口的下方显示该线性规划问题的目标函数值、变量值、迭代次数等：

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LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7.454545

VARIABLE VALUE REDUCED COST X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.090909 3) 0.000000 0.545455

NO. ITERATIONS= 2 输出结果表示的意思是：

“LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2”：表示单纯形法在两次迭代（旋转）后得到最优解；

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7.4545450 ”表示最优目标值为7.4545450.（注意：在LINDO中目标函数所在的行总是被认为是第1行，这就是这里“1）”的含义）；

“VALUE”给出最优解中各变量(VARIABLE)的值: X =1.272727, Y =1.636364；

“REDUCED COST” 给出最优的单纯形表中目标函数行（第1行）中变量对应的系数（即各个变量的检验数（也称为判别数））. 其中基变量的reduced cost值一定为0；对于非基变量（注意：非基变量本身取值一定为0）, 相应的 reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位（其他非基变量保持不变）时目标函数减少的量( 对max型问题)。本例最优解中两个变量都是基变量，所以对应的REDUCED COST的值均为0。

“SLACK OR SURPLUS（松驰或剩余）” 给出约束对应的松驰变量的值: 第2、3行松驰变量均为0, 说明对于最优解来讲，两个约束（第2、3行）均取等号，即都是紧约束。

“DUAL PRICES” 给出对偶价格的值: 第2、3行对偶价格分别为 .090909，.545455。 “NO. ITERATIONS= 2” 表示用单纯形法进行了两次迭代（旋转）。 5. 保存文件

选择File|Save（F5）命令把“结果报告”保存在一个文件中（缺省的后缀名为LTX,即LINDO文本文件）。类似地，回到模型窗口，可以把输入的模型保存在一个文件中。保存的文件将来可以用File | Open（F3）和File | View（F4）重新打开，用前者打开的程序可以进行修改，而后者只能浏览。

如果模型有错误,运行时会弹出出错信息报告窗口(LINDO Error Message)，则需要修改模型。 6. LINDO模型的一些注意事项

1）变量名由字母和数字组成，但必须以字母开头，且长度不能超过8个字符，不区分大小写字母，包括关键字（如MAX、MIN等）也不区分大小写字母。

2）对目标函数和约束用行号（行名）进行标识，这些标识会在将来的求解结果报告中用到。行名可以和变量名一样命名，也可以只用数字命名，还可以含有中文字符，但长度同样不能超过8个字符。为了方便将来阅读求解结果报告，建议用户总是自觉地对每个约束进行命名。行名结束标志符号、即右

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