小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程 下载本文

【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速) 总路程=(甲速+乙速)×相遇时间

【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇? 解 392÷(28+21)=8(小时) 答:经过8小时两船相遇。

例2 小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间? 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为400×2

相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒) 答:二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。 解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此, 相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时) 两地距离=(15+13)×3=84(千米) 答:两地距离是84千米。 8 追及问题

【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发,或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及时间

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。

例1 好马每天走120千米,劣马每天走75千米,劣马先走12天,好马几天能追上劣马? 解 (1)劣马先走12天能走多少千米? 75×12=900(千米) (2)好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天) 列成综合算式 75×12÷(120-75)=900÷45=20(天) 答:好马20天能追上劣马。

例2 小明和小亮在200米环形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他们从同一地点同时出发,同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈,即200米,此时小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,须知追及时间,即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒,则跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是

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(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米) 答:小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人,敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑,解放军在晚上22点接到命令,以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米,问解放军几个小时可以追上敌人?

解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时,这段时间敌人逃跑的路程是[10×(22-16)]千米,甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间=[10×(22-16)+60]÷(30-10)=120÷20=6(小时) 答:解放军在6小时后可以追上敌人。

例4 一辆客车从甲站开往乙站,每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站,每小时行40千米,两车在距两站中点16千米处相遇,求甲乙两站的距离。

解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(16×2)千米,客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间,

这个时间为 16×2÷(48-40)=4(小时) 所以两站间的距离为 (48+40)×4=352(千米)

列成综合算式 (48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米) 答:甲乙两站的距离是352千米。

例5 兄妹二人同时由家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本,立即沿原路回家去取,行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远?

解 要求距离,速度已知,所以关键是求出相遇时间。从题中可知,在相同时间(从出发到相遇)内哥哥比妹妹多走(180×2)米,这是因为哥哥比妹妹每分钟多走(90-60)米, 那么,二人从家出走到相遇所用时间为 180×2÷(90-60)=12(分钟)

家离学校的距离为 90×12-180=900(米) 答:家离学校有900米远。

例6 孙亮打算上课前5分钟到学校,他以每小时4千米的速度从家步行去学校,当他走了1千米时,发现手表慢了10分钟,因此立即跑步前进,到学校恰好准时上课。后来算了一下,如果孙亮从家一开始就跑步,可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

解 手表慢了10分钟,就等于晚出发10分钟,如果按原速走下去,就要迟到(10-5)分钟,后段路程跑步恰准时到学校,说明后段路程跑比走少用了(10-5)分钟。如果从家一开始就跑步,可比步行少9分钟,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分钟。 所以 步行1千米所用时间为 1÷[9-(10-5)]=0.25(小时)=15(分钟) 跑步1千米所用时间为 15-[9-(10-5)]=11(分钟) 跑步速度为每小时 1÷11/60=5.5(千米) 答:孙亮跑步速度为每小时 5.5千米。 9 植树问题

【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量,要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。

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【数量关系】 线形植树 棵数=距离÷棵距+1

圆形植树 棵树=圆形周长÷棵距

闭合环形植树 棵数=距离÷棵距 方形植树 棵数=方形周长÷棵距

三角形 棵树=三角形周长÷棵距

面积植树 棵数=面积÷(棵距×行距)

【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。

例1 一条河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? 解 136÷2+1=68+1=69(棵) 答:一共要栽69棵垂柳。

例2 一个圆形池塘周长为400米,在岸边每隔4米栽一棵白杨树,一共能栽多少棵白杨树? 解 400÷4=100(棵) 答:一共能栽100棵白杨树。

例3 一个正方形的运动场,每边长220米,每隔8米安装一个照明灯,一共可以安装多少个照明灯? 解 220×4÷8=106(个) 答:一共可以安装106个照明灯。

例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖,所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米,问至少需要多少块地板砖? 解 96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(块) 答:至少需要400块地板砖。

例5 一座大桥长500米,给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆,每个电杆上安装2盏路灯,一共可以安装多少盏路灯? 解 (1)桥的一边有多少个电杆? 500÷50+1=11(个) (2)桥的两边有多少个电杆? 11×2=22(个) (3)大桥两边可安装多少盏路灯?22×2=44(盏) 答:大桥两边一共可以安装44盏路灯。 10 年龄问题

【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名,它的主要特点是两人的年龄差不变,但是,两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 两个数的差÷(几倍-1)=较小的数

例1 爸爸今年35岁,亮亮今年5岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢? 解 35÷5=7(倍) (35+1)÷(5+1)=6(倍) 答:今年爸爸的年龄是亮亮的7倍,

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明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

例2 母亲今年37岁,女儿今年7岁,几年后母亲的年龄是女儿的4倍? 解 (1)母亲比女儿的年龄大多少岁? 37-7=30(岁)

(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30÷(4-1)-7=3(年) 列成综合算式 (37-7)÷(4-1)-7=3(年) 答:3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3 3年前父子的年龄和是49岁,今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍,父子今年各多少岁? 解 今年父子的年龄和应该比3年前增加(3×2)岁, 今年二人的年龄和为 49+3×2=55(岁)

把今年儿子年龄作为1倍量,则今年父子年龄和相当于(4+1)倍,因此,今年儿子年龄为 55÷(4+1)=11(岁) 今年父亲年龄为 11×4=44(岁)

答:今年父亲年龄是44岁,儿子年龄是11岁。

例4 甲对乙说:“当我的岁数曾经是你现在的岁数时,你才4岁”。乙对甲说:“当我的岁数将来是你现在的岁数时,你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少?(可用方程解)

解这里涉及到三个年份:过去某一年、今年、将来某一年。列表分析:

甲 乙 过去某一年 □岁 4岁 今 年 △岁 □岁 将来某一年 61岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数,两个“△”表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差数列,所以,61应该比4大3个年龄差, 因此二人年龄差为 (61-4)÷3=19(岁) 甲今年的岁数为 △=61-19=42(岁) 乙今年的岁数为 □=42-19=23(岁)

答:甲今年的岁数是42岁,乙今年的岁数是23岁。 11 行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度,船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 (顺水速度+逆水速度)÷2=船速 (顺水速度-逆水速度)÷2=水速 顺水速=船速+水速=逆水速+水速×2 逆水速=船速-水速=顺水速-水速×2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 一只船顺水行320千米需用8小时,水流速度为每小时15千米,这只船逆水行这段路程需用几小时?

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解 由条件知,顺水速=船速+水速=320÷8,而水速为每小时15千米, 所以,船速为每小时 320÷8-15=25(千米) 船的逆水速为 25-15=10(千米)

船逆水行这段路程的时间为 320÷10=32(小时) 答:这只船逆水行这段路程需用32小时。

例2 甲船逆水行360千米需18小时,返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时,返回原地需多少时间? 解由题意得 甲船速+水速=360÷10=36 甲船速-水速=360÷18=20 可见 (36-20)相当于水速的2倍,

所以, 水速为每小时 (36-20)÷2=8(千米) 又因为, 乙船速-水速=360÷15, 所以, 乙船速为 360÷15+8=32(千米) 乙船顺水速为 32+8=40(千米)

所以, 乙船顺水航行360千米需要 360÷40=9(小时) 答:乙船返回原地需要9小时。

例3 一架飞机飞行在两个城市之间,飞机的速度是每小时576千米,风速为每小时24千米,飞机逆风飞行3小时到达,顺风飞回需要几小时? 解 这道题可以按照流水问题来解答。

(1)两城相距多少千米? (576-24)×3=1656(千米) (2)顺风飞回需要多少小时? 1656÷(576+24)=2.76(小时)

列成综合算式 [(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小时) 答:飞机顺风飞回需要2.76小时。 12 列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速

火车追及:追及时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速-乙车速) 火车相遇:相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1 一座大桥长2400米,一列火车以每分钟900米的速度通过大桥,从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米? 解 火车3分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。 (1)火车3分钟行多少米? 900×3=2700(米) (2)这列火车长多少米? 2700-2400=300(米) 列成综合算式 900×3-2400=300(米) 答:这列火车长300米。

例2 一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥,用了2分5秒钟时间,求大桥的长度是多少米?

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