答：有6 辆车，有270人。 15 工程问题

【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量＝工作效率×工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率） 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：两队合做需要6天完成。

例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解 设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以 （1）每小时甲比乙多做多少零件？ 24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个） （2）这批零件共有多少个？ 7÷（1/6－1/8）＝168（个） 答：这批零件共有168个。

解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝4∶3 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝1/7 所以，这批零件共有 24÷1/7＝168（个）

例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是 60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

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答：还需要5小时才能完成。 也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）

例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知 每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2， 所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个） 答：至少需要9个进水管。 16 正反比例问题

【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1 修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？ 解 由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份， 从而知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米） 答： 这条公路总长3600米。

例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？ 解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题 则有 28∶4＝91∶X 28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13

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答：91分钟可以做13道应用题。

例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？ 解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10 答：10天就可以看完。

例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。

A 25 20 36 B 16 解 由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此， A∶36＝20∶16 25∶B＝20∶16 解这两个比例，得 A＝45 B＝20

所以，大矩形面积为 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162 答：大矩形的面积是162. 17 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。 总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1 学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？ 解 总份数为 47＋48＋45＝140 一班植树 560×47/140＝188（棵） 二班植树 560×48/140＝192（棵）

三班植树 560×45/140＝180（棵） 答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？ 解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米） 60×4/12＝20（厘米） 60×5/12＝25（厘米）

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

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例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2 9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 17×6/17＝6 17×2/17＝2

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

人 数 对应的份数 80人 12－8 一共多少人？ 8＋12＋21 解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人） 答：三个车间一共820人。 18 百分数问题

【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量 标准量＝比较量÷百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1） 求一个数是另一个数的百分之几； （2） 已知一个数，求它的百分之几是多少； （3） 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1 仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10% （2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。

例2 红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量 所以 （525－420）÷525＝0.2＝20% 或者 1－420÷525＝0.2＝20% 答：男职工人数比女职工少20%。

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