1.1.2 弧度制

【基础练习】

1．将1 920°转化为弧度数为( ) 16

A．

316πC．

3【答案】D

2π32π

【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋＝.故选D．

332．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm，则扇形圆心角的弧度数为( ) A．1 C．1或4 【答案】C

1

【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝lr＝8，解得r＝4，l＝4

248

或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是＝1或＝4.故选C．

42

π

3．半径为3 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为( )

73πA． cm

73

C． cm 7【答案】A

ππ3π

【解析】由题意可得圆心角α＝，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝×3＝.故选A．

7774．下列转化结果错误的是( ) 3π

A．67°30′化成弧度是 rad

87π

C．－150°化成弧度是 rad

6【答案】C

ππ3π10

【解析】1°＝，对于A,67°30′＝67°30′×＝，A正确；对于B，－π＝

18018083

10

B．－π化成度是－600°

3π

D．化成度是15° 12πB． cm 219πD． cm 7B．4 D．2或4

2

32

B．

332πD． 3

- 1 -

10π57?180?－π×??°＝－600°，B正确；对于C，－150°＝－×150°＝－π≠π，C错误；318066?π?ππ?180?

对于D，＝×??°＝15°，D正确．故选C．

1212?π?

5．已知两角和为1弧度且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________． 1π1π

【答案】＋，－

23602360

x＋y＝1，??π

【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝rad，所以有?π

180x－y＝，?180?

1π

x＝＋，??2360得?1π

y＝??2－360.

解

1π1π

即所求两角的弧度数分别为＋，－.

23602360

6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________.(精确到1 m)

【答案】47 m

π

【解析】根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．

3

7．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm，求扇形圆心角的弧度数； (2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．

2

【解析】(1)如图所示，设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ(0<θ<2π)， 由l＋2r＝20，得l＝20－2r， 11

由lr＝9，得(20－2r)r＝9， 22∴r－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.

2

l18

当r1＝1 cm时，l＝18 cm，θ＝＝＝18>2π(舍去)．

r1l2

当r2＝9 cm时，l＝2 cm，θ＝＝.

r9

- 2 -

2

∴扇形的圆心角的弧度数为.

9

π5π115π22

(2)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm，扇形面积S＝|α|r＝××15180122212＝

3752

π(cm)． 8

8．(1)把310°化成弧度； 5π

(2)把 rad化成角度；

12

π7π

(3)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，试比较α，β，γ，θ，φ1012的大小．

π31π

【解析】(1)310°＝ rad×310＝ rad. 180185π5π?180?(2) rad＝×??°＝75°.

1212?π?(3)方法一(化为弧度)：

α＝15°＝15×

πππ7π

＝，θ＝105°＝105×＝. 1801218012

ππ7π

显然<<1<，故α<β<γ<θ＝φ.

121012方法二(化为角度)：

β＝＝×?φ＝

ππ?180?

?°＝18°，γ＝1≈57.30°，

1010?π?7π?180?×??°＝105°. 12?π?

显然，15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.

9．已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角α各取何值时，扇形的面积S最大？试求出扇形面积的最大值．

【解析】设扇形的弧长为l，∵l＋2R＝30， 11

∴S＝lR＝(30－2R)R

22＝－R＋15R

2

?15?2225＝－?R－?＋.

2?4?

15225

∴当R＝时，扇形有最大面积，

24

- 3 -

此时l＝30－2R＝15，α＝＝2，

15225

故当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积. 24

【能力提升】

lRαπα10．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( )

332

A．第一象限 C．x轴上 【答案】D

B．第四象限 D．y轴上

απαπ

【解析】∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k3322

为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综22上，终边在y轴上，故选D． 2

2 016π

11．(2018年福建福州期中)把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的

5

αααθ的值是( )

6π

A．－

54π

C．

5【答案】C

2 016π4π6π?6π??4π?

【解析】－＝－404π＋＝－402π－，?－?＞??，故|θ|的最小值

555?5??5?为

4π4π

，此时θ＝.故选C． 55

12．已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为________弧度时，它有最大的面积． 【答案】2

11【解析】∵扇形的周长为20，∴l＋2r＝20，即l＝20－2r，∴扇形的面积S＝lr＝(20

22－2r)·r＝－r＋10r＝－(r－5)＋25.∴当半径r＝5时，扇形的面积最大为25，此时，α＝

2

2

π

B．－ 54πD．－ 5

l20－2×5＝＝2(rad)． r5

13．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

- 4 -

【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为

???3π?α????4

??4π

＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z?.

3??

π

(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB6

???π5π

所形成，故满足条件的角的集合为?α?－＋2kπ<α≤

12???6

??

＋2kπ，k∈Z?.

??

(3)将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为

???2π5π

?α?＋kπ<α<

6??3?

??

＋kπ，k∈Z?.

??

- 5 -