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综合这两个方面有（A∩B）×（C∩D）=（A×C）∩（B×D）。 证法二：（逻辑法）对任何x,y (x,y)∈(A∩B)×(C∩D) ?x∈A∩B?y∈C∩D ?(x∈A?x∈B)?(y∈C?y∈D)
?(x∈A?y∈C)?(x∈B?y∈D) (?的结合律、交换律) ?(x,y)∈A×C?(x,y)∈B×D ?(x,y)∈(A×C)∩(B×D)
由x，y的任意性，可得：(A∩B)×(C∩D)= (A×C)∩(B×D) 。
5．下列各式中哪些成立，哪些不成立？对成立的式子给出证明，对不成立的式子给
出反例。
1）（A∪B）×（C∪D）=（A×C）∪（B×D） 2）（A\\B）×（C\\D）=（A×C）\\（B×D） 3）（A?B）×（C?D）=（A×C）?（B×D） 4）（A\\B）×C=（A×C）\\（B×C） 5）（A?B）×C=（A×C）?（B×C）
[解] 1）不成立。设A={a}，B={b}，C={c}，D={d}，则（a，-d）∈（A∪B）×
（C∪D），但（a，-d）?（A×C）∪（B×D）。所以（A∪B）×（C∪D）=（A×C）∪（B×D）不成立。事实上有：（A×C）∪（B×D）?（A∪B）×（C ）?（A∪B）×（C∪D）。
2）不成立。设A={a}，B={b}，C=D={c}，则（a，c）∈（A×C）\\（B×D）但（a，c）?（A\\B）×（C\\D）。因而（A\\b）×（C\\D）=（A×C）\\（B×D）不成立。事实上有：（A\\B）×（C\\D）?（A×C）\\（B×D）。因为A\\B?A，C\\D?，故有（A×C）\\（B×D）? A×C；又若（x，y）∈（A\\B）×（C\\D）故此x∈A\\B，从而x?B，y∈C\\D，从而y?D，故此（x，y）?B×D综合这两方面，有（A\\B）×（C\\D）?（A×C）\\（B×D）。
3）不成立。设A={a}，B={b}，C={a}，D={b}，则（a，b）∈（A?B）×（C?D），
但（a，b）?（A×C）?（B×D）。所以（A?B）×（C?D）?（A×Ｃ）?（B×D）不成立。又设A={a}，B={b}，C={a}，D={c} 则（a，c）∈（A×Ｃ）?（B×D），但（a，c）?（A?B）×（C?D）。所以（A×Ｃ）?（B×D）?（A?B）×（C?D）不成立。因此（A?B）×（C?D）与（A×Ｃ）?（B×D）无任何包含关系。总之（A?B）×（C?D）=（A×Ｃ）?（B×D）不成立。
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4）成立。证明如下：对任一（x，y）∈（A\\B）×C，有x∈A，x?B，y∈C 于是（x，
y）∈A×C，且（x，y）∈（A\\B）×C，且（x，y）?B×C（否则x∈B），所以（x，y）∈（A×C）\\（B×C）。因而 （A\\B）×C?（A×C）\\（B×C）。
又对任一（x，y）∈（A×C）\\（B×C），有（x，y）∈A×C，且（x，y）?B×C从而x∈A，y∈C及x?B。即x∈A\\B，y∈C，故此（x，y）∈（A\\B）×C。所以（A×C）\\（B×C）?（A×B）×C。
因而（A\\B）×C=（A×C）\\（B×C）。 另一种证明方法： （A×B）×C
=（A∩B′）×C（差集的定义）
=（A×C）∩（B′×C）（叉积对交运算的分配律） =（A×C）∩（B×C）′
（因（B×C）′=（B′×C））∩（B×C′）∪（B′×C′） 但（A×C）∩（B×C）′=（（A×C）∩（B′×C））∪?
=（A×C）∩（B′×C））
=（A×C）∩（B′×C）（差集的定义） 证法三：（逻辑法）对任何x,y (x,y)∈(A×C) \\ (B×C) ?(x,y)∈A×C?(x,y)?B×C ?(x∈A?y∈C)?(x?B?y?C)
?(x∈A?y∈C?x?B)?(x∈A?y∈C?y?C) (?对?的分配律) ?(x∈A?x?B?y∈C)?(x∈A?y∈C?y?C) (?的结合律、交换律) ?(x∈A?x?B)?y∈C (?及?的零壹律、?的结合律) ?x∈A \\ B?y∈C ?(x,y)∈(A \\ B)×C
由x，y的任意性，可得：(A \\ B)×C=(A×C) \\ (B×C) 。
5）成立。证明如下：对任一（x，y）∈（A?B）×C，故此x∈A?B，y∈C于是x∈A且x?B，或者x?A且x∈B。因此（x，y）∈（A×C）?（B×C）。所以（A?B）×C?（A×C）?（B×C）。
对任一（x，y）∈（A×C）?（B×C）。则（x，y）∈A×C且（x，y）?B×C，或者（x，y）?A×C且（x，y）B×C。因此x∈A，yC，x?B，或者x
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∈B，y∈C，x?A。所以x∈A\\B，或x∈B\\A，并且y∈C，故此 x∈A?B，y∈C。因此（x，y）∈（A?B）×C，即（A×C）?（B×C）?（A?B）×C。 综合两方面、就有（A?B）×C=（A×C）?（B×C）
另一种证明方法：（A?B）×C
=（（A\\B）∪（B\\A））×C（对称差的定义）
=（（（A\\B）×C）（（B\\A）×C）（叉积对并运算的分配律） =（（A×C）\\（B×C）∪（B×C）\\（A×C））（根据4）） =（A×C）?（B×C）（对称差的定义）
6．设A={1，2，3}，B={a}，求出所有由A到B的关系。?[解]：R0=?，R1={（1，a）}，R2={（2，a）}，R3={（3，a）}，
R4={（1，a），（2，a）}，Rs={（1，a），（3，a）}，R6={（2，a），（3，a）}，
R7={（1，a），（2，a），（3，a）}
7．设A={1，2，3，4}，R1={（1，3），（2，2），（3，4）}，R2={（1，4），（2，3），
（3，4）}，求：R1∪R2，R1∩R2，R1\\R2，R1′，?（R1），?（R2），?（R1），?（R2），?（R1∪R2），?（R1∩R2）
[解]：R1∪R2={（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（3，4）}
R1∩R2={（3，4）} R1\\R2={（1，3），（2，2）}
R1′=（A×A）\\R={（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）} （R1）={1，2，3}，?（R1）={2，3，4}， （R2）={1，2，3}，?（R2）={3，4} （R1∪R2）={1，2，3}，?（R1∩R2）={4} 8．对任意集合A及上的关系R1和R2，证明
1）?（R1∪R2）=?（R1）∪?（R2） 2）?（R1∩R2）??（R1）∩?（R2）
[证] 1）一方面，由于R1?R1∪R2，R2?R1∪R2，根据定理1，有?（R1）??（R1
∪R2），?（R2）??（R1∪R2）故
?（R1）∪?（R2）??（R1∪R2）
另一方面，若x∈?（R1∪R2）那么存在着y∈A，使（y，x）∈（R1∪R2）因此（y，x）∈R1，或者（y，x）∈R2，从而x∈?（R1）或者x∈?（R2）于是x∈?(R1) ∪?（R2），所以?（R1∪R2）??（R1）∪?（R2）。
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11．设A={1，2，3，4}，定义A上的下列关系
R1={（1，1），（1，2），（3，3），（3，4）}，R2={（1，2），（2，1）}
R3={（1，1），（1，2），（2，2），（2，1），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）} R4={（1，2），（2，4），（3，3），（4，1）}
R5={（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）} R6=A×A，R7=?
请给出上述每一个关系的关系图与关系矩陈，并指出它具有的性质。 [解]：
1）
1 0 0 2
?1?0?
R1??3 0 0 4 ?0??0
R1是反对称的，传递的。 2）
100?000???
011?000???0?1?R1???0??0R2是反自反的，对称的。 3）
100?000???
000?000???1?1?R1???0??0100?100???
011?011??R3是自反的，对称的，传递的，因此是等价关系。循环的 综合这两方面，就有（R1∪R2）=?（R1）∪?（R2）。
2）由于R1∩R2?R1，R1∩R2?R2，根据定理1，有?（R1∩R2）??（R1），?
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（R1∩R2）?R2，所以?（R1∩R2）??（R1）∩?（R2）反方向的包含不成立，反全由第7题可得，那里?（R1∩R2）={4}，?（R1）∩?（R2）={2，3，4}∩{3，4}={3，4}因此
?（R1）∩??（R2）?（R1∩R2）
9．设A有n个元素的有限集合，请指出A上有多少个二元关系？并阐明理由。
[解] A上有2n2个元关系。因为叉积A×A有n2个元素，因而A×A有2n2个子集，而每个子集都是A上的一个二元关系。
10．定义在整数集合I上的相等关系、“≤”关系、“＜”关系，全域关系，空关系，
是否具有表中所指的性质，请用Y（有）或N（元）将结果填在表中。 性质 关系 相等关系 ≤关系 ＜关系 全域关系 空关系 4）
自反的 Y Y N Y N 反自反的 N N Y N Y 对称的 Y N N Y Y 反对称的 Y Y Y N Y 传递的 Y Y Y Y Y ?01??2?0 R4???03??4??1R4是反对称的，循环的。 5）
100?001?? 010??000?1??23??0?0 R5???0??4?1111?011?? 001??000?R5是反自反的，反对称的，传递的。
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