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2）{2，3，6，12，24，36}

3）{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} [解]

24

4

3 2 1 12

6 2

3 36

1）的Hasse图 2）的Hass图

在3）的Hasse图中可以看出， ①{2，3，6}的最大元素为6；极大元

8 12 素也为6；极汴元素为2和3；上确界为6；下确界为1；没有最小元素。

9 10 4 6 ②{2，4，6}的极大元素为4和6；最小 素为2；极小元素也为2；上确界为12； 下确界为2；

③{4，8，12}的极大元素为8，12；最小元素为4；极小元素也为4；下确界为4；没有最大元素；没有上确界。

7 5 2 3 11 1 3）的Hasse图

性质 集合 最大元 最小元 极大元 极小元 上界 下界 上确界 下确界 6 无 无 无 2 4 6 4,6 8,12 2,3 2 4 6,12 12 无 1 1,2 1,2,4 6 12 无 1 2 4 {2,3,6} {2,4,6} {4,8,12}

3)的特殊元素表

5 6 34．对下面半序集合（A，?）的哈斯图，写出集合A及半

.

1

2 3 4 精品文档

序关系?的所有元素。 [解] A={0，1，2，3，4，5，6}

?={（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，1），

第34题

92，20，（2，5），（3，3），（3，5），（4，4），（4，6），（5，5），（6，6）}第34题

35．设R是集合X上的半序关系，A?X，证明R∩（A×A）是A上的半序关系。 [证].证法一：令R1=R∩（A×A），则R1?A×A，所以R1是A上的关系，我们只需

证明在A上R是自反的，反对称的，传递的即可。 （a）R1是自反的

对任何a∈A，由于A?X，所以a∈X，由于R在X上是自反的，故此（a，a）∈R；由于a∈A，显然（a，a）∈A×A；所以（a，a）∈R∩（A×A），即（a，a）R1。 （b）R1是反对称的

对任何（a，a）∈R1且（b，a）∈R1，由R1= R∩（A×A），故有（a，b）∈R且（b，a）∈R，以及a，b，c∈A。利用R的传递性，可得（a，c）∈R，利用a，c∈A可得（a，c）∈A×A，所以（a，c）∈R∩（A×A），即（a，c）∈R1。

证法二：令R1=R?(A?A)，由于R?(A?A)?A?A，所以R1?A?A，因此R1是A上的关系。

①R1是自反的 对任何a， a?A

?(a,a)?R?(a,a)?A?A (R是X上的自反关系及A?X) ?(a,a)?R?(A?A)

?(a,a)?R1 (R1的定义)

所以，R1是自反的； ②R1是反对称的 对任何a,b?A

(a,b)?R1?(b,a)?R1

?(a,b)?R?(A?A)?(b,a)?R?(A?A) (R1的定义) ?((a,b)?R?(a,b)?A?A)?((b,a)?R?(b,a)?A?A)

?((a,b)?R?(b,a)?R)?((a,b)?A?A?(b,a)?A?A) (?的结合律、交换律)

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?((a,b)?R?(b,a)?R) (基本逻辑蕴涵式：p?q?p) ?a=b (R是反对称的) 所以，R1是反对称的； ③R1是传递的 对任何a,b,c?A

(a,b)?R1?(b,c)?R1

?(a,b)?R?(A?A)?(b,c)?R?(A?A) (R1的定义) ?((a,b)?R?(a,b)?A?A)?((b,c)?R?(b,c)?A?A)

?((a,b)?R?(b,c)?R)?((a,b)?A?A?(b,c)?A?A) (?的结合律、交换律) ?((a,c)?R?(a,c)?A?A (R是传递的，全关系A?A是传递的) ?(a,c)?R?(A?A)

?(a,c)?R1 (R1的定义) 所以，R1是传递的；

综合①、②、③，可知R1是A上的半序关系。

36．设（A，?1）和（A，?2）是两个半序集合，定义A×B上的关系?3如下：对于

a1，a2∈A，，b2∈B

（a1，b1），（a2，b2）∈?3?（a1，a2）∈?1∧（b1，b2）∈?2 证明?3是A×B上的半序关系。

[证].证法一：对于任何（a，b）∈A×B，就有a∈A及b∈B，从而利用?1及的自反性，可得 （a，a）∈?1且（b，b）∈?2因此由?3的定义，可知（（a，b），（a，b））∈?3。 （b）?3是反对称的

对任何（（a1，b1），（a2，b2））∈?3及（（a2，b2），（a1，b1））∈，由?3的定义，可知（a1，a2）∈?1且（a2，a1）∈?1及（b1，b2）∈?2且（b2，b1）∈?2利用?1及?2的反对称性，可得a1=a2及b1=b2，因此（a1，b1）=（a2，b2）。 （c）?3是传递的

对任何（（a1，b1），（a2，b2））∈?3及（（a2，b2），（a3，b3）））∈?3，由?3

的定义，可知（a1，a2）∈?1且（a2，a3）∈?1及（b1，b2）∈?2且（b2，b3）∈?2。利用?1及?2的传递性，可得（a1，a3）∈?1及（b1，b3）∈?2。再次利用?3的定义，可得（（a1，b1），（a3，b3）））∈?3。 证法二： ① ?3是自反的

.

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对任何(a,b)，(a,b)?A?B

?a?A?b?B

?(a,a)??1?(b,b)??2 (?1，?2都是自反的) ?((a,b),(a,b))??3 (?3的定义)

所以，?3是自反的； ②?3是反对称的 对任何(a,b)，(c,d)?A?B

((a,b), (c,d))??3?((c,d), (a,b))??3

?((a,c)??1?(b,d)??2)?((c,a)??1?(d,b)??2) (?3的定义) ?((a,c)??1?(c,a)??1)?((b,d)??2?(d,b)??2) (?的结合律、交换律) ?a=c?b=d (?1，?2都是反对称的) ?(a,b)=(c,d)

所以，?3是反对称的； ③?3是传递的

对任何(a,b)，(c,d)，(e,f)?A?B

((a,b), (c,d))??3?((c,d), (e,f))??3

?((a,c)??1?(b,d)??2)?((c,e)??1?(d,f)??2) (?3的定义) ?((a,c)??1?(c,e)??1)?((b,d)??2?(d,f)??2) (?的结合律、交换律) ?(a,e)??1?(b,f)??2 (?1，?2都是反对称的)

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?((a,b), (e,f))??3 (?3的定义) 所以，?3是传递的；

综合①、②、③，可知?3是A?B上的半序关系。

37．对于非空集合A，是否存在这样的关系R，它即是等价关系又是半序关系？若有，

请举出例子。

[解] 有。只有一种，那就是A上的幺关系IA，它即是等价关系，又是半序关系。

证法一：否则，如果有a∈A及b∈A且a≠b，使得（a，b）∈R，那么由R是对我的就将有（b，a）∈R，再由R是反对称的，就得到a=b，矛盾。这个矛盾说明同时为等价关系和半序关系的R只能是幺关系IA。 证法二：设R即是一等价关系，又是一半序关系。则 一方面，对任何元素a,b?A，

(a,b)?R?(a,b)?R?(b,a)?R (R的对称性)

?a=b (R的反对称性) ?(a,b)?IA

所以，R?IA；

另一方面，对任何元素a?A，

(a,a)?IA?(a,b)?R (R的自反性) 所以，IA?R；

综合这两方面，有 R=IA 。

38．对于下列每一种情况，举出有限集合和无限集合的例子各一个。

1） 非空半序集合，其中某些子集没有最大元素；

2） 非空半序集合，其中有一子集存在最大下界，但没有最小元素； 3） 非空序集合，其中有一子集存在上界，但没有最小上界。 [解] 1）（a）令A={a，b，c}，则（2A，?）为半序集，其中子集

B1={{c}，{a，b}} B2={{b}，{a，c}} 等均没有最大元素； （b）半序集（N，≤）

{c} {a} {b} {a，c} {b,c} {a，b} {a，b，c}

.

? 1）的（a）的Hasse图