? ?
A?VMk
(9) (10)
D?U??kk
在此，?k和Mk为各自方向的k阶振型的振型参与系数和有效质量系数，计算方法如下：
? 振型参与系数 ??m?jkNjk?j?1?m?jj?1N
2jk (11)
? 振型参与质量 Mk?Nm????jjk??j?1??2?m?jj?1N (12)
2jk式(9)和(10)为动力学理论的多自由度(MDOF)体系和单自由度(SDOF)体系之间的
关系。即A和D为单自由度体系响应谱上的响应加速度和响应位移，V和U为多自由度体系的基底剪力和位移。
如图2.36，弹性响应谱可以利用单自由度体系的位移和加速度关系式(13)进行转换。
?
D?Tn224?A (13)
性能点(performance point)的评价
能力谱和需求谱的交点称为性能点。在MIDAS/Gen中提供的计算性能点的方法为ATC-40的能力谱(CSM)中提供的Procedure-A和Procedure-B两种方法。两种方法的基本原理相同，通过计算有效阻尼反复计算获得性能点的方法为Procedure-A方法，利用延性比和有效周期原理计算性能点的方法为 Procedure-B。
(1) 计算等效阻尼(equivalent damping)
在能力谱法(CSM)中，通过pushover分析获得能力谱后如下图所示使用具有相同面积的双折线(biloinear)曲线来表现。在CSM中使用具有5%阻尼的弹性响应谱和能力谱计算结构的等效阻尼。因为结构的阻尼而耗散的能量等于双折线滞回曲线的面积，可按式(14)计算。
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图 2.37 利用滞回曲线计算等效阻尼
?eq??0 +0.05 (14)
1ED63.7(aydpi?dyapi)?0?? 4?ESOapidpi在此, ED = 结构阻尼引起的耗散能 ESO = 结构的最大变形能
将式(14)使用百分率的形式表现如下。
63.7(aydpi?dyapi)?5(15) ?eq??0?5?apidpi
在此，?eq表示阻尼比(%)，在ATC-40中阻尼比超过25%时，需要谨慎的判断，且不许超过50%。
(2) 计算有效阻尼(effective damping)
地震作用作用下的钢筋混凝土结构的滞回曲线中没有表现刚度退化(stiffness degradation)和强度退化(strength deterioration)、滑移或握裹(slip or pinching)的特性的理想化的滞回模型。所以在ATC-40中为了反映钢筋混凝土的这些滞回特性，使用阻尼调整系数(damping modification factor)来调整等效阻尼。调整后的等效阻尼称为有效阻尼系数，按下式计算。
63.7?(aydpi?dyapi) (16) ?eq???0?5??5apidpi
式左侧的阻尼比5%为弹性体系的阻尼，不同结构特性的阻尼调整系数如下表。
阻尼调整系数(?) 结构特性 等效阻尼 ?0(%) 类型 A (完全滞回特性) 类型 B (一般滞回特性) 类型 C (弱滞回特性) ?16.25 > 16.25 ?25 > 25 1.0 1.13?0.51?aydpi?dyapi? apidpi0.67 0.845?0.446?aydpi?dyapi? apidpi所有值 0.33
(3) 非线性需求谱
使用前面计算的有效阻尼系数决定非线性响应谱。即利用有效阻尼系数计算响应谱的谱折减系数(spectrum reduction factor，SR)。如图2.27所示加速度和速度的谱折减系数不同。谱折减系数采用了Newmark和Hall(1982)的地基运动扩大系数，加速度的谱折减系数(SRA)和速度的谱折减系数(SRV)的计算式如下。根据
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结构的滞回特性，ATC-40中给出了谱折减系数的下限值。 Elastic response spectrum (5%)Sa SRA
SRV Reduced response spectrum SdVelocityAcceleration rangerange
图 2.38 根据谱折减系数计算的非线性响应谱 ?63.7??aydpi?dyapi??3.21?0.68ln??5??0.33apidpi??????0.44SRA??2.12?0.56??forTypeA??forTypeB? ?forTypeC??63.7??aydpi?dyapi??2.31?0.41ln??5??0.50apidpi??????0.56SRV??1.65?0.67??forTypeA??forTypeB? (17) ?forTypeC?
项 目 类型 A (完全滞回特性) 类型 B (一般滞回特性) 类型 C (弱滞回特性) κ 1.00 0.67 0.33 SRA 0.33 0.44 0.56 SRV 0.50 0.56 0.67 表 2.2 结构的滞回特性对应的谱折减系数下限值
根据上述的计算过程可以获得设计地震作用或线弹性反应谱对应的非线性需求谱。将获得的非线性地震需求谱和通过Pushover分析获得的结构的能力谱进行比较，可以获得结构的性能点。
(4) 计算性能点
利用Pushover分析得到的结构的能力谱和非线性设计响应谱的比较，可以获得表现结构的非线性最大位移和保有内力的性能点，并且利用其来评价结构的性能水准。
■ 确定性能点的方法
MIDAS/Gen中根据能力谱(CSM)确定性能点的方法采用ATC-40中提供的两种方法。其基本原理为使用有效阻尼系数评价需求谱并求其与能力谱的交点作为性能点。
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Procedure-A
是ATC-40中提供的基本方法，首先将能力谱中斜率为初始刚度的切线和阻尼比为5%的弹性设计响应谱的交点作为初始的性能点。然后确定初始性能点位置的等效阻尼，然后求使用有效阻尼系数的非线性设计响应谱，然后重新计算交叉点作为性能点。重复上述过程，直到在使用有效阻尼系数的非线性设计响应谱和能力谱的的交点位置上位移响应和加速度响应的变化量在误差范围内，将此时的交点视为性能点。采用Procedure-A方法确定性能点的方法参见图2.39。
图 2.39 使用Procedure-A方法计算性能点(ATC-40)
Procedure-B
ATC-40中计算性能点的第二种方法是首先假设位移延性比，然后计算对应延性比的结构的结构的有效周期，将有效周期直线和5%弹性设计响应谱的交点作为初始的性能点。对弈于假定的位移延性比的放射线状的有效周期和非线性设计响应谱的交点将形成一个轨迹线，该轨迹线与结构的能力谱的交点为最终的性能点。利用Procedure-B方法计算性能点的原理如图2.40所示。
图 2.40 利用Procedure-B方法计算性能点(ATC-40) - 67 -