《绪论》思考题与习题

0-1 叙述我国法定计量单位的基本内容。

答：我国的法定计量单位是以国际单位制(SI)为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成的。 1．基本单位

根据国际单位制(SI)，七个基本量的单位分别是：长度——米(Metre)、质量——千克(Kilogram)、时间——秒(Second)、温度——开尔文(Kelvn)、电流——安培(Ampere)、发光强度——坎德拉(Candela)、物质的量——摩尔(Mol>。

它们的单位代号分别为：米(m))、千克(kg)、秒(s)、开(K)、安(A)、坎(cd)、摩(mol)。 国际单位制(SI)的基本单位的定义为：

米(m)是光在真空中，在1／299792458s的时间间隔内所经路程的长度。 千克(kg)是质量单位，等于国际千克原器的质量。

秒(s)是铯-133原子基态的两个超精细能级间跃迁对应的辐射9192631770个周期的持续时间。

安培(A)是电流单位。在真空中，两根相距1m的无限长、截面积可以忽略的平行圆直导线内通过等量恒定

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电流时，若导线间相互作用力在每米长度上为2×10N，则每根导线中的电流为1A。 开尔文(K)是热力学温度单位，等于水的三相点热力学温度的1／273．16。

摩尔(mol)是一系统的物质的量，该系统中所包含的基本单元数与0．012kg碳-12的原子数目相等。使用摩尔时，基本单元可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或是这些粒子的特定组合。

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坎德拉(cd)是一光源在给定方向上的发光强度，该光源发出频率为540×10Hz的单色辐射，且在此方向上的辐射强度为1／683W／sr。 2．辅助单位

在国际单位制中，平面角的单位——弧度和立体角的单位——球面度未归入基本单位或导出单位，而称之为辅助单位。辅助单位既可以作为基本单位使用，又可以作为导出单位使用。它们的定义如下： 弧度(rad)是一个圆内两条半径在圆周上所截取的弧长与半径相等时，它们所夹的平面角的大小。

球面度(sr)是一个立体角，其顶点位于球心，而它在球面上所截取的面积等于以球半径为边长的正方形面积。

3．导出单位

在选定了基本单位和辅助单位之后，按物理量之间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘或相除的形式所构成的单位称为导出单位。

0-2 如何保证量值的准确和一致？

答：通过对计量器具实施检定或校准，将国家基准所复现的计量单位量值经过各级计量标准传递到工作计量器具，以保证被测对象量值的准确和一致。在此过程中，按检定规程对计量器具实施检定的工作对量值的准确和一致起着最重要的保证作用，是量值传递的关键步骤。

0-3 何谓测量误差？通常测量误差是如何分类、表示的？

答：测量结果与被测量真值之差称为测量误差。

根据误差的统计特征将误差分为：系统误差、随机误差、粗大误差。

实际工作中常根据产生误差的原因把误差分为：器具误差、方法误差、调整误差、观测误差和环境误差。 常用的误差表示方法有下列几种： （1）绝对误差

测量误差=测量结果-真值

（2）相对误差

相对误差=误差÷真值

当误差值较小时，可采用

相对误差≌误差÷测量结果

（3）引用误差

引用误差=绝对误差÷引用值（量程）

（4）分贝误差

1

分贝误差=20×lg(测量结果÷真值)

对于一部分的量(如广义功)，其分贝误差需改用下列公式：

分贝误差=10×lg(测量结果÷真值)

0-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差： ①1．0182544V±7．8μV ②(25．04894±0．00003)g

2

③(5．482±0．026)g／cm

答：

?7.8??7.66?10?6??0.000766% 61.0182544?10?0.00003②??1.19765?10?6??0.000120% 25.04894?0.026③??0.00473??0.473%

5.482①

0-5 何谓测量不确定度？国际计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC—1（1980）》的要点是什么？

答：测量不确定度是对被测量真值不能肯定的误差范围的一种评定，是测量误差量值分散性的衡量指标。测量结果应带有这样一个指标。只有知道测量结果的不确定度时，此测量结果才有意义和用处。

国际计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC—1（1980）》的要点是：

测量不确定度一般包含若干个分量，按其数值评定方法将它们归并为A和B两类分量。A类分量都用估计的方差si （或估计的标准差si）和自由度vi来表征。必要时应给出估计的协方差。B类分量用某种uj量来表征。

2可以认为u2j量是假设存在的相应方差的近似。uj量可以像方差那样处理，而uj量也可以像标准差那样处理。

22必要时应给出协方差，它可按类似的方法处理。A类分量与B类分量可用通常合成方差的方法合成，所得的结果称为合成不确定度，并按“标准偏差”来看待。合成不确定度具有概率的概念；若为正态分布，合成不确定度的概率为68．27％。

如有必要增加置信概率，则可将合成不确定度乘上与置信概率相对应的置信因子，作为测量结果的总不确定度。但此时必须对置信因子或置信概率的大小加以说明。

0-6 为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么使用电表时应尽可能在电表量程上限的三分之二以上使用？用量程为150V的0．5级电压表和量程为30V的1．5级电压表分别测量25V电压，请问哪一个测量准确度高？

答：国家标准GB776-76《测量指示仪表通用技术条件》规定，电测量仪表的准确度等级指数a分为：0．1、0．2、0．5、1．0、1．5、2．5、5．0共7级。它们的最大引用误差不能超过仪表准确度等级指数a的百分数，即

?nm?a% 依照上述规定，电测量仪表在使用时所产生的最大可能误差可由下式求出

?Am??Ama%

【例】某1．0级电压表，量程为300V，当测量值分别为U1=300V、U2=200V、U3=100V时，试求出测量值的（最大）绝对误差和示值相对误差。 绝对误差

?U1??U2??U3??300?1.0%??3V

各测量值的相对误差

?U1??U13?100%?(?)?100%??1.0% U1300?U23?100%?(?)?100%??1.5% U22002

?U2?

?U3??U33?100%?(?)?100%??3.0% U3100 由上例不难看出：测量仪表产生的示值测量误差?x不仅与所选仪表等级指数a有关，而且与所选仪表的量程有关。量程Am和测量值Ax相差愈小，测量准确度愈高。所以，在选择仪表量程时，测量值应尽可能接近

仪表满度值，一般不小于满度值的2/3。这样，测量结果的相对误差将不会超过仪表准确度等级指数百分数的1．5倍。这一结论只适合于以标度尺上量限的百分数划分仪表准确度等级的一类仪表，如电流表、电压表、功率表。

用量程为150V的0．5级电压表测量25V电压，其绝对误差为

?U1??150?0.5%??0.75V

相对误差为

?U1??U1U1?100%?(?0.75)?100%??3.0% 25用量程为30V的1．5级电压表测量25V电压，其绝对误差为

?U2??30?1.5%??0.45V

相对误差为

?U2??U2U2?100%?(?0.45)?100%??1.8% 25显然，用量程为30V的1．5级电压表测量准确度高。

0-7 如何表达测量结果?对某量进行8次测量，测得值分别为：802．40、802．50、802．38、802．48、802．42、802．46、802．45、802．43。求其测量结果。

答：国内外推行的测量结果表达方式为：

测量结果=样本平均值±不确定度

?x?x?X?x??样本平均值

nsn

x?样本的标准偏差

?xi?1in?802.40???802.43?802.44

8s?样本平均值的标准偏差

?(xi?1ni?x)2?0.04

n?1sn?0.048?x??测量结果

?0.01

?x?802.44?0.01 X?x?? 0-8 用米尺逐段丈量一段10m的距离，设丈量1m距离的标准差为0．2mm。如何表示此项间接测量的函数

式？求测此10m距离的标准差。

解：间接测量的函数式

X?x1?x2???x10 标准差 ?X??1??2????10?10?0.2?1.414mm

0-9 直圆柱体的直径及高的相对标准差均为0．5％，求其体积的相对标准差为多少？

解：直圆柱体的体积

3

V?相对标准差

?4D2H

EV???4(2ED)2?(EH)2?4?0.88%

(2?0.5%)2?(0.5%)2

《第一章》思考题与习题

1-1 求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式)，画出cn??和?n??图，并与表1-1对比。

图1-4 周期方波

解：

?A??x(t)????A??[?0?(0?T?T0)2T(?0?T?0)2

2??j?t?cos?t?jsin?t eT0j??1]

1cn?T0T?T02T?02x(t)e?jn?0tdt2?2??jnt0120?jnT0t?[?Aedt??T0AeT0dt]?T002A??ej?nT02??jnt2T00A?[1?ej?n]j?n

?2A??j?n???0?n?1,3,5,?n?0,2,4,?2A ?nc??n?arctannI??

cnR2cn?（图略）。

4

1-2 求正弦信号x(t)?x0sin?t的绝对均值

解：

[??绝对均值

?x和均方根值xrms。

?1?cos?2? sin?]

22T?x?均方根值

1T1T??x(t)dt??x0sin?tdtT0T02x0T?T20sin?tdt?2x0x1[?cos?t]?0T??0T2

xrms?1T21T22?x(t)dt?x0sin?tdtT?0T?02x0T?T02x01?cos2?tdt?22TT?T0(1?cos2?t)dt

2x012T?[t0?sin2?t]?x02T2?20 1-3 求指数函数x(t)?Ae解：

?at(a?0,t?0)的频谱。

??X(f)??x(t)e?j2?ftdt??Ae?ate?j2?ftdt??0Ae?(a?j2?f)t0a?j2?fAA(a?j2?f)??a?j2?f(a?j2?f)(a?j2?f)Aa2?fA?2?ja?4?2f2a2?4?2f2?A?e?(a?j2?f)tdt????0

（图略）。

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

图1-25 题1-4图

解：单位阶跃函数

?1?u(t)???0?时域上当??0时的极限，其频谱为e??tt?0t?0

??t阶跃信号不满足绝对可积的条件，不能由定义式直接求其频谱。可把单位阶跃函数看作指数信号e的频谱在??0时的极限。

在

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