数学世家伯努利家族的贡献(3) 下载本文

南京师范大学泰州学院本科毕业论文

3 伯努利家族在数学中的贡献

3.1 伯努利方程

伯努利方程:形如

dy?P(x)y?Q(x)yn (3.1) dx的方程称为伯努利方程,其中n为常数,且n?0,1.

伯努利方程是一类非线性方程,但是通过适当的变换,就可以把它化为一阶线性的. 伯努利方程的解法 (1)一般解法

伯努利方程:

其一般解法步骤如下:

① 方程两端同除以yn得:

y?ndy?p(x)y1?n?Q(x) dxdy?P(x)y?Q(x)yn(n?0,1), dx② 令z?y1?n即可化为一阶线性微分方程:

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x) dx③ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程的通解. ④ 最后经变量代换得原方程的通解,

(n?1)p(x)dx 即: y1?n?(1?n)e例3.1.1 求解方程

??Q(x)e(1?n)?p(x)dxdx?c?.

?????dyyx2??dx2x2y

解 这是一个伯努利方程,两端同乘以2y,得

dyy22y??x2

dxx令y2?z,代入有

dzz??x2, dxx8

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这已经是线性方程,它的解为 z = Cx+12x3.

于是,原方程的解为 y = ?Cx?1x32.

(2)常数变易法

方程y??p(x)y?Q(x)yn(n?0,1), (3.2)的齐次方程的通解为:y?ce??p(x)dx.

设原方程的通解为:

y?c(x)e??p(x)dx,

代入(3.2)得:

c?(x)e??p(x)dx?cn(x)e?n?p(x)dxQ(x).

这是一个可分离变量的微分方程,可求出c1?n(x). 即: c1?n(x)?(1?n)[?Q(x)e(1?n)?p(x)dxdx?c],

则原方程的通解为:

y1?n?(1?n)e(n?1)?p(x)dx[?Q(x)e(1?n)?p(x)dxdx?c].例3.1.2 解微分方程:

dy?6yx??xy2dx 解 原伯努利方程的齐次方程为:

dydx?6yx?0, 其通解为:

y?cx6.

设原方程的通解为:

y?c(x)x6,

代入原方程得:

c?(x)x6?6c(x)x5?6c(x)x5??xc2(x)x12,

整理得:

c?(x)??c2(x)x7,

积分得:

9

3.2)(

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x8 c(x)??c,

8?1则原方程的通解为:

x2c y??6.

8x?1

3.2 伯努利概型

对于伯努利家族在概率方面的研究,我们很容易想到曾经学过的伯努利概型,在许多问题中,我们对试验感兴趣的是试验中某件事是否发生。例如,掷硬币试验中,关心的是出现正面还是出现反面;产品抽样检查中,注意抽取的产品是正品还是废品;射击试验中命中还是不命中;比赛中,胜还是负;??。在这类问题中试验的结果只有两个,或者事件A发生,或者事件A不发生即A不发生,这种只有两个结果的试验称为伯努利试验。

现在考虑重复进行n次独立的伯努利试验。这里“重复”的意思是指各次试验的田间是相同的。它意味着各次试验中事件A发生的概率保持不变,设这都是p(从而A的概率也保持不变设都是q?1?p。“独立”的意思是指各次试验的结果是相互独立的。这种试验所对应的数学模型成为伯努利模型。有时为了突出试验次数n,也称为n次伯努利概型或n重伯努利概型。

关于伯努利概型,有如下的重要的定理。

定理3.2 对于伯努利概型,事件A在n次试验中发生k次的概率为

kkn?kPn(k)?Cnpq(0?k?n)

证明 记得Bk?“n次试验中事件A发生k次”,Ai=“第i次试验中事件A发生”,i=1,2,3,?,n.事件Bk应是n次试验中k次发生A其余n-k次发生A的一切可能的事件的和,即

Bk?A1A2?AkAk?1An???A1A2An?kAn?k?1?An

k显见,和式中共有Cn项,且两两互不相容;有试验的独立性,可以知道各项中的诸事

件是相互独立的,于是不难算得各项概率均为pkqn?k。利用概率的有限可加性知P(B)

kkn?k=Cnpq,即

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kkn?k Pn(k)?Cnpq.

例3.2.1 在图书馆中只有存放技术书和数学书,任一读者借技术书的概率为0.2,而借数学书的概率为0.8.设每人只借一本书,有5名读者依次借书,求至多有2人借数学书的概率。

解 一个读者节一本书有两种结果,或者借数学书(事件A)。或者借技术书(事件A),因此一个读者借一本书可以看作是一次伯努利试验,5名读者各借一本书可以看作是n=5的伯努利概型。问题归结为计算5次伯努利概型事件中A至多发生2次的概率,其中P(A)=0.8,P(A)=0.2.按照定理的所求概率为 P =

?P(k)

5k?0242302 = C5(0.2)5+C1(0.8)(0.2)+C(0.8)(0.2) 559 ?0.057

例3.2.2 某厂每天的产品分三批包装,规定每批产品的次品率低于0.01才能出产。某日有三批产品等待检验出厂,检验员进行抽样检查,从三批产品中各抽出一件进行检验,发现有一件是次品,问该日产品能否出厂?

解: 假设该日产品能出厂,表明每批产品的次品率都低于0.01,在这条件下,我们来计算事件B=“3件产品中至少有1件是次品”的概率。假如将抽出的一件产品是次

品看作事件A,是正品看作A,那么P(A)=p?0.01,所求概率为3次伯努利概型中事件A至少发生一次的概率,于是

P(B)= ?P3(k) = 1- P3(0)

k?1300 =1- C3p (1-p)3

=1-(1-p)3?1-(0.99)3?0.03

这是一个小概率,在一次试验中B可以认为是不可能发生的。然而现在经过一次检查中发现有一次是次品,也就是小概率事件B在一次试验中竟然发生了,这表明原来假设不正确,即该日产品不能出厂。

3.3 伯努利大数定律

伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一,属于弱大数定律之一,当然也称为伯努利大数定律。

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