南京师范大学泰州学院本科毕业论文

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4 伯努利家族在科学界的贡献

4.1 伯努利方程在物理中的应用

伯努利不仅是一位数学家，还是一位物理学家．

(1)1738年出版了《流体动力学》一书，共13章。这是他最重要的著作。书中用能量守恒定律解决流体的流动问题，写出了流体动力学的基本方程，后人称之为“伯努利方程”，提出了“流速增加、压强降低”的伯努利原理。

(2)他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应，建立了分子运动理论和热学的基本概念，并指出了压强和分子运动随温度增高而加强的事实。

(3)从1728年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学问题，包括这些物体的平衡曲线，还研究了弦和空气柱的振动。

(4)他曾因天文测量、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的稳定、土星和木星的不规则运动和振动理论等成果而获奖。

伯努利通过实验得出：理想流体在做稳定流动时，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大(但并非反比关系)，其数学表达式为

p??v2/2??gh?恒量 这就是著名的伯努利方程.

利用伯努利方程来解决实际问题

(1)确定静止液面下深度为h处的压强

如右图所示，在装有液体的容器里取液面上的点A和在液面下深h处的点B来研究，以点B处的水平面作为零(势能)参考面，则

hA?h1,hB?0,?A??0

又因液体静止v1?v2?0，代入伯努利方程得

?B??A??gh??0??gh

(2)求液体从小孔中流出的流速

设在液面下深为h的容器壁上有一小孔，液体从小孔中流出，取在液面上点A和小孔处点B来研究，因为容器的截面比小孔的截面大得多，所以容器中水面的下降很慢，点A处的液体微粒的流速可以不计，即vA?0，以B点处高度为零，则hA?h，hB?0，点A、B处与大气接触，所以?A??B??0（大气压），代入伯努利方程得

12(3)测量流体的流速

?0??gh??0??vB2 即vB?2gh

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测量流体在管中的流速时，可用下图所示的仪器， 因为它常用来测量气流速度，所以叫做气流速度计，分别把必多管A(必多管是一根一端封闭的弯管，封闭端A光滑微尖，并在靠近封闭端的侧面上开有很多的小孔)和一个管口朝向气流的管子B(动压管)接在U形管压强计上，据U形管两边的液柱的高度差便可求出气体的流速。

设气体稳定流动的速度是v，气体的密度是?0，压强计内液体的密度是?0，在管A上小孔处气体的压强是pA，管B中气体的压强是pB，管B中气体因受管里流体的阻碍，它的流速等于0，由于管A与管B的端口均在同一高度上且气体的同一流线上，据伯努利方程得

pA??v22?pB?0

故 pB?pA??v22.

根据U形管两边的高度差h，可求出两管中的气体的压强差为

pB?pA??0gh 由以上各式得v?2?0gh/?

因此，测量出h就可以求出气流的速度．

(1)液流和气流的空吸作用

如下图所示，若在水平管的细颈处开一小孔A，用细管接入容器B中容器内，流动液体不但不会流出，而且容器B中液体可以被吸上去，为研究此原理，做如下推导：

设左上方容器E很大，流体流动时，液面无显著下降，液面与出液孔的高度差为h，

SA和SF分别表示水平管上小孔A与出液孔F处的横截面积，用?表示液体的密度，设液体为理想流体，取容器E中液面上的点C和水平管上小孔A以及出液孔F处的水作为研究对象，据伯努利方程，得到：

1122PC??gh?pA??vA?pF??vF

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又因为PC?PF?P0代入上式得到

vF2??gh pA?P0?122?(?F?vA) 2据流体在水平管中做稳定流动时，管中各处的流量Q??vSt不变，有:由上述几式综合得到SF?SA．则

vFSA ?vASFS1 ?A??0??gh(1?F2)?0

2SA即小孔C处有一定的真空度，因此可将B中液体吸入，这种现象叫做空吸作用．

不但液流有空吸作用，气流也同样有空吸作用，所遵循的规律也相同，空吸作用的应用很广，化学实验室中的水流抽气机、内燃机的汽化器、蒸汽锅加水所用的射水器是根据这个原理制成的．

伯努利效应

1726年，伯努利通过无数次实验，发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系，流速与压强的关系：流体的流速越大，压强越小；流体的流速越小，压强越大。

比如，管道内有一稳定流动的流体，在管道不同截面处的竖直开口细管内的液柱的高度不同，表明在稳定流动中，流速大的地方压强小，流速小的地方压强大。这一现象称为“伯努利效应”,伯努利方程：p?21?常量。 22pv在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时，靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来，压强就减小，站台上的旅客若离列车过近，旅客身体前后出现明显压强差，将使旅客被吸向列车而受伤害。

伯努利效应的应用举例：飞机机翼、 喷雾器、汽油发动机的汽化器、球类比赛中的旋转球。

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4.2 伯努利方程在医学中的应用

伯努利﹒尼尔学习医学是在父亲的要求之下接受的，学习期间的主要心思也没有花在医学上，而是花在了数学的爱好上，但是丹尼尔并没有弃医学于不顾，而是认真学习，也有不菲的成就。1921年，他的博士论文《植物的呼吸》就是关于呼吸力学的综合理论。 曾在1728年，已经是彼得堡科学院生理学院士和数学院士的他，发表了关于肌肉收缩的力学理论的论文，在这篇论文中提出了心脏所作机械功的计算方法，这其实也是一个在物理学上的成就。生理学院士这个头衔远远落后与数学院士这个头衔。也不难理解，虽然他起初成了一名外科大夫，但最终成为欧洲历史上伟大的数学家和物理学家。

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