数学世家伯努利家族的贡献 (3) 下载本文

南京师范大学泰州学院本科毕业论文

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4 伯努利家族在科学界的贡献

4.1 伯努利方程在物理中的应用

伯努利不仅是一位数学家,还是一位物理学家.

(1)1738年出版了《流体动力学》一书,共13章。这是他最重要的著作。书中用能量守恒定律解决流体的流动问题,写出了流体动力学的基本方程,后人称之为“伯努利方程”,提出了“流速增加、压强降低”的伯努利原理。

(2)他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应,建立了分子运动理论和热学的基本概念,并指出了压强和分子运动随温度增高而加强的事实。

(3)从1728年起,他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学问题,包括这些物体的平衡曲线,还研究了弦和空气柱的振动。

(4)他曾因天文测量、地球引力、潮汐、磁学、洋流、船体航行的稳定、土星和木星的不规则运动和振动理论等成果而获奖。

伯努利通过实验得出:理想流体在做稳定流动时,流速大的地方压强小,流速小的地方压强大(但并非反比关系),其数学表达式为

p??v2/2??gh?恒量 这就是著名的伯努利方程.

利用伯努利方程来解决实际问题

(1)确定静止液面下深度为h处的压强

如右图所示,在装有液体的容器里取液面上的点A和在液面下深h处的点B来研究,以点B处的水平面作为零(势能)参考面,则

hA?h1,hB?0,?A??0

又因液体静止v1?v2?0,代入伯努利方程得

?B??A??gh??0??gh

(2)求液体从小孔中流出的流速

设在液面下深为h的容器壁上有一小孔,液体从小孔中流出,取在液面上点A和小孔处点B来研究,因为容器的截面比小孔的截面大得多,所以容器中水面的下降很慢,点A处的液体微粒的流速可以不计,即vA?0,以B点处高度为零,则hA?h,hB?0,点A、B处与大气接触,所以?A??B??0(大气压),代入伯努利方程得

12(3)测量流体的流速

?0??gh??0??vB2 即vB?2gh

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测量流体在管中的流速时,可用下图所示的仪器, 因为它常用来测量气流速度,所以叫做气流速度计,分别把必多管A(必多管是一根一端封闭的弯管,封闭端A光滑微尖,并在靠近封闭端的侧面上开有很多的小孔)和一个管口朝向气流的管子B(动压管)接在U形管压强计上,据U形管两边的液柱的高度差便可求出气体的流速。

设气体稳定流动的速度是v,气体的密度是?0,压强计内液体的密度是?0,在管A上小孔处气体的压强是pA,管B中气体的压强是pB,管B中气体因受管里流体的阻碍,它的流速等于0,由于管A与管B的端口均在同一高度上且气体的同一流线上,据伯努利方程得

pA??v22?pB?0

故 pB?pA??v22.

根据U形管两边的高度差h,可求出两管中的气体的压强差为

pB?pA??0gh 由以上各式得v?2?0gh/?

因此,测量出h就可以求出气流的速度.

(1)液流和气流的空吸作用

如下图所示,若在水平管的细颈处开一小孔A,用细管接入容器B中容器内,流动液体不但不会流出,而且容器B中液体可以被吸上去,为研究此原理,做如下推导:

设左上方容器E很大,流体流动时,液面无显著下降,液面与出液孔的高度差为h,

SA和SF分别表示水平管上小孔A与出液孔F处的横截面积,用?表示液体的密度,设液体为理想流体,取容器E中液面上的点C和水平管上小孔A以及出液孔F处的水作为研究对象,据伯努利方程,得到:

1122PC??gh?pA??vA?pF??vF

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又因为PC?PF?P0代入上式得到

vF2??gh pA?P0?122?(?F?vA) 2据流体在水平管中做稳定流动时,管中各处的流量Q??vSt不变,有:由上述几式综合得到SF?SA.则

vFSA ?vASFS1 ?A??0??gh(1?F2)?0

2SA即小孔C处有一定的真空度,因此可将B中液体吸入,这种现象叫做空吸作用.

不但液流有空吸作用,气流也同样有空吸作用,所遵循的规律也相同,空吸作用的应用很广,化学实验室中的水流抽气机、内燃机的汽化器、蒸汽锅加水所用的射水器是根据这个原理制成的.

伯努利效应

1726年,伯努利通过无数次实验,发现了“边界层表面效应”:流体速度加快时,物体与流体接触的界面上的压力会减小,反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献,这一发现被称为“伯努利效应”。伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体,是流体作稳定流动时的基本现象之一,反映出流体的压强与流速的关系,流速与压强的关系:流体的流速越大,压强越小;流体的流速越小,压强越大。

比如,管道内有一稳定流动的流体,在管道不同截面处的竖直开口细管内的液柱的高度不同,表明在稳定流动中,流速大的地方压强小,流速小的地方压强大。这一现象称为“伯努利效应”,伯努利方程:p?21?常量。 22pv在列车站台上都划有安全线。这是由于列车高速驶来时,靠近列车车厢的空气将被带动而运动起来,压强就减小,站台上的旅客若离列车过近,旅客身体前后出现明显压强差,将使旅客被吸向列车而受伤害。

伯努利效应的应用举例:飞机机翼、 喷雾器、汽油发动机的汽化器、球类比赛中的旋转球。

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4.2 伯努利方程在医学中的应用

伯努利﹒尼尔学习医学是在父亲的要求之下接受的,学习期间的主要心思也没有花在医学上,而是花在了数学的爱好上,但是丹尼尔并没有弃医学于不顾,而是认真学习,也有不菲的成就。1921年,他的博士论文《植物的呼吸》就是关于呼吸力学的综合理论。 曾在1728年,已经是彼得堡科学院生理学院士和数学院士的他,发表了关于肌肉收缩的力学理论的论文,在这篇论文中提出了心脏所作机械功的计算方法,这其实也是一个在物理学上的成就。生理学院士这个头衔远远落后与数学院士这个头衔。也不难理解,虽然他起初成了一名外科大夫,但最终成为欧洲历史上伟大的数学家和物理学家。

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