4． 简述计算技术与计算方法的关系。

答：计算技术域计算方法是相辅相成、相互促进的。 电子计算机的发展对计算方法不断提出新的目标和要求。

计算方法的发展也会启发工程师改进计算机结构，以满足计算方法发展的需要。 这种相互依存的关系，使得现代计算数学不断涌现新概念、新课题和新方法。

五． 论述题

1. 学习数学史的意义 答：（1）数学史揭示出数学知识的现实来源和应用，从而从中感受到数学在文化史和科学进步史上的地位与影响，熟悉到数学是一种生动的、基本的人类文化活动，以及数学在当代社会发展中的作用，并且关注数学与其他学科之间的关系。

（2）数学史不仅可以给出一种确定的数学知识，还可以给出相应知识的创造过程。对这种创造过程的了解，可以使学生体会到一种活的、真正的数学思维过程。这既可以激发对数学的爱好，培养探索精神。

（3）通过阅读许多数学家在成长过程中遭遇过挫折，了解一些大数学家是如何遭遇挫折和犯错误的，不仅可以使我们在数学方法上从反面获得全新的体会，而且知道大数学家也同样会犯错误、遭遇挫折，对正确看待学习过程中碰到的困难、树立学习数学的自信心会产生重要的作用。

2. 毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的影响？

答：毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”，而这里的数是指可公度量。直角三角形勾股定理的证明发现了无理数。一方面已证明单位正方形的对角线长是有不可度量，与毕达哥拉斯学派的基本信条发生了冲突，这让在整数基础上建立起来的希腊早期数学的严密性受到了挑战，另一方面，毕达哥拉斯学派对数的观念已是根深蒂固，这就陷入了极大的矛盾之中，形成了所谓的第一次数学危机。希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法地去回避它，他们一时不能承受那种传统的观念会有问题。也正是因为希腊人的这种态度，使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对形的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的不平衡。

3． 试述莱布尼兹对微积分的贡献及其工作的缺陷，以及他和牛顿的有关微积分理论优先权的争论对18世纪英国与欧陆国家的数学发展产生的影响。

答：贡献： 1684年莱布尼茨在《教师学报》上发表的论文《一种求极大极小的奇妙类型的计算》，是最早的微积分文献。这篇仅有六页的论文，内容并不丰富，说理也颇含糊，但却有着划时代的意义。1686年莱布尼茨在《学艺》上发表了题为《深奥的几何与不可分量及无限的分析》的第一篇积分学论文，初步论述了积分问题和微分问题的互逆关系。莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，莱布尼兹所创造的微积分符号对微积分的发展起了很大的促进作用。

工作的缺陷：虽然莱布尼茨自始至终用了无穷小量方法，但对微分的态度任是摇摆不定的，时而看作不确定量，时而看作定性的零，有时又看作辅助变量，没有清楚的理解也没有严密的定义它们的基本概念。

影响：优先权争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。微积分发明权的争论，对整个18世纪英国与欧洲大陆国家在数学发展上的分道扬镳，产生了严重影响。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离分析的主流。分析的进步在18世纪主要是由欧洲大陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。

数学史概论期末试题一

一、单项选择题

1．世界上第一个把π 计算到3.1415926＜n ＜3.1415927 的数学家是( B ) A.刘徽 B.祖冲之 C.阿基米德 D.卡瓦列利

2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( C ) A.秦九韶 B.杨辉 C.朱世杰 D.贾宪 3．就微分学与积分学的起源而言( A )

A.积分学早于微分学 B.微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D.不确定 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( D )

A.《孙子算经》 B.《墨经》 C.《算数书》 D.《周髀算经》

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5．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫( D )。 A.笛卡尔公式 B.牛顿公式 C.莱布尼茨公式 D.欧拉公式 6．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )。

A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏晋南北朝时期 D.宋元时期 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( A )。 A.莱布尼茨 B.约翰·伯努利 C.雅各布·伯努利 D.欧拉

8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( B )。 A.高斯 B.波尔查诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 9．古埃及的数学知识常常记载在（ A ）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木板上 D.泥板上

10．大数学家欧拉出生于（A ） A.瑞士 B.奥地利 C.德国 D.法国 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( D )。 A.塔塔利亚 B.卡当 C.费罗 D.费拉利 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（ D ）。 A.比例术 B.面积术 C.体积术 D.开方术

13．最早采用位值制记数的国家或民族是( A )。 A.美索不达米亚 B.埃及 C.阿拉伯 D.印度 二、填空题

14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、完备性、独立性。 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理 的一般形式。

16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_杨辉_三角，而数学史学者常常称它为贾宪三角。 17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有（5）条公理、（5） 条公设。 18．两千年来有关 欧几里得几何原本第五公设 的争议，导致了非欧几何的诞生。

19.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了 一次和二次 方程的一般解法，并用__几何___方法对这一解法给出了证明。

20．被称为“现代分析之父”的数学家是（柯西），被称为“数学之王”的数学家是（高斯）。 21．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家 帕斯卡 于1642 年发明的。 22．1900年，德国数学家 希尔伯特 在巴黎国际数学家大会上提出了（23） 个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。

23．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家（卡当），首先获得四次方程一般解法的数学家是（费拉利）。 24．欧氏几何、罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例，其中 欧氏几何 对应的情形是曲率恒等于零，罗巴契夫斯基几何 对应的情形是曲率为负常数。 25．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《周髀算经》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的（赵爽）。

三、简答题

26．简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。

答：莱布尼茨于 1646 年出生在德国的莱比锡，其主要数学成就有：从数列的阶差入手发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引入积分符号；首次引进 “函数”一词；发明了二进位制，开始构造符号语言，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。

27．写出数学基础探讨过程中所出现的“三大学派”的名称、代表人物、主要观点。 答：一，逻辑主义学派，代表人物是罗素和怀特黑德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的一部分，全部数学可以由逻辑推导出来。 二，形式主义学派，代表人物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。 三，直觉主义学派，代表人物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语言，数学是一种思维中的非语言的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，而不是公理和命题。

28．中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”，并叙述其证明方法。 29．《周髀算经》(作者，成书年代，主要成就)

答：该书出版于东汉末年和三国时代，但从史上考证应成书于公元前240 年至公元前156 年之间，可能是北汉平侯张苍修订和补写而成；书中记载的数学知识主要有：分数运算、等差数列公式及一次内插公式和勾股定理在中国早期发展的情况。

30. 简述学习数学史的意义。

31.简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。 答：刘徽生活在三国时代；代表著作有《九章算术注》；主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法，代数上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上有割圆术及徽率。 32.用《九章算术》中的盈不足术解下面问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何”？ 33.中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”，并叙述其证明方法。

边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直

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角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。 数学史概论期末试题二 一、单项选择题

1．世界上讲述方程最早的著作是( A )

A.中国的《九章算术》 B.阿拉伯花拉子米的《代数学》 C.卡尔丹的《大法》 D.牛顿的《普遍算术》 2．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( B )。 A.托勒玫 B.帕波斯 C.阿波罗尼奥斯 D.丢番图

3．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是( A )。 A.六十进制 B.十进制 C.五进制 D.二十进制 4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( B )。 A.《考工记》 B.《墨经》 C.《史记》 D.《庄子》 5．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( A )。

A.《数书九章》 B.《五经算术》 C.《缀术》 D.《缉古算经》

6．微积分诞生于( C )。 A.15 世纪 B.16 世纪 C.17 世纪 D.18 世纪 7．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( D )。

A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派 8．最早记载勾股定理的我国古代名著是( A )。

A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》

9．首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( A )。 A.中国 B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 10．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( D )。 A.定义 B.定理 C.公设 D.公理

11．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( B )。 A.3.1 B.3.14 C.3.142 D.3.1415926

12．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( C )。

A.求瞬时速度的方法 B.求切线的方法 C.求极值的方法 D.求体积的方法

13．祖冲之的代表作是（ C ） A.《考工记》 B.《海岛算经》 C.《缀术》 D.《缉古算经》 二、填空题 14．《九章算术》内容丰富，全书共有（九）章，大约有（246（个问题。

15．世界上第一个把π 计算到 3.1415926＜π ＜3.1415927 的数学家是（祖冲之）。 16．亚力山大晚期一位重要的数学家是（帕波斯），他唯一的传世之作《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作。

17．古希腊亚历山大时期的数学家 阿波罗尼兹 在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，其著作《 圆锥曲线 》代表了希腊演绎几何的最高成就。

18．发现不可公度量的是古希腊 毕德哥拉斯 学派，该发现导致了数学史上的第一次数学危机。 19．我国的数学教育有悠久的历史，（隋唐）代开始在国子寺里设立“算学”，唐至五代 代则在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”。 20．《几何基础》的作者是（希尔伯特），该书所提出的公理系统包括 （五）组公理。 21．用“分割法”建立实数理论的数学家是（戴德金），该理论建立于 （19）世纪。

22．费马大定理证明的最后一步是英国数学家 （怀尔斯）于 1994 年完成的，他因此于1996 年获得了（沃尔夫）奖。 23．“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家（刘徽）首先明确提出的，这一原理在西方文献中被称作（卡瓦列利）原理。

24．创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是（印度），而首先使用十进位值制记数的国家或民族则是（中国）。 25．哥德巴赫猜想是（德）国数学家哥德巴赫于 18 世纪在给数学家 （欧拉）的一封信中首次提出的。 26．阿基米德通常用（平衡）法发现求积公式，然后用（穷竭）法进行严格的证明。 27．古希腊的三大著名几何问题是 化圆为方 、 倍立方 和三等分角。 三、简答题

28．简述阿基米德的生活时代、代表著作以及在数学上的主要成就。 答：阿基米德生活在古希腊亚历山大前期，代表著作有：《论球与圆柱》，《圆的度量》，《劈锥曲面与回转椭圆体》，《论螺线》，《平面图形》，《数沙器》，《抛物线图形求积法》等，阿基米德的主要成就有：用力学方法求出球体积，抛物或弓形的面积，托球体、抛物或旋转体截体和球缺体积；用穷竭法求出圆面积和一系列曲边形面积与体积；得到 的近似值为22/7。

29．简述《九章算术》的主要内容及在中国数学史上的意义。 答：《九章算术》是我国古代的一本传世数学名著，一直作为我国传统数学的代表作。《九章算术》是以应用问题集的形式表述的，一共收入 246 个问题，分为九章，分别为方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。标志着中国传统数学的知识体系已初步形成，对中国数学的发展的历史作用如同《几何原本》对西方数学影响一样。 30．简述运筹学的建立和发展过程。 答：运筹学是运用数学方法解决生产、国防、商业和其他领域中的安排、筹划、控制、管理等有关问题的音乐数学的分支。最早产生于二战中的英国，用以解决空防雷达信息系统与战斗机系统的协同配合问题。不久美军也开始了类似的研究，并在战争中建有奇功。目前运筹学已包括有数学规划论、博弈论、排队论、决策分析、图论等。

31．简述费马大定理的内容。

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费马大定理： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。 填空

1．世界上第一个把π 计算到3.1415926＜π ＜3.1415927 的数学家是祖冲之 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(朱世杰 3．就微分学与积分学的起源而言(积分学早于微分学) 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是(《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ =cosθ +isinθ 的是( 欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是(宋元时期)。

7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是(.莱布尼茨)。

8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是(波尔查诺)。 9．古埃及的数学知识常常记载在（纸草书上）。 10．大数学家欧拉出生于（瑞士）

11．首先获得四次方程一般解法的数学家是(费拉利。 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（开方术）。 13．最早采用位值制记数的国家或民族是(美索不达米亚)。

14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、__完备性__、独立性 15．在现存的中国古代数学著作中，《 周髀算经 》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理 的一般形式。

16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为__杨辉__三角，而数学史学者常常称它为_贾宪__三角。 17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有_5_条公理、_5条公设。

18．两千年来有关 欧几里得《几何原本》第五公设 的争议，导致了《非欧几何》的诞生。 1

9.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了 一次和二次 方程的一般解法，并用__几何__方法对这一解法给出了证明。

20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的 微分三角形方法 以及瓦里士的 曲线弧长的计算 等。 语言的数学家是 维尔斯特拉斯 。 21．1882 年德国数学家林德曼证明了数 的超越性。

22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间，

23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点， 至少有两条?年德国数学家林德曼证明了数 直线与已知直线平行，而且在该几何体系中，三角形内角和__小于___两直角。

24．被称为“现代分析之父”的数学家是柯西，被称为“数学之王”的数学家是高斯

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25．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家 帕斯卡 于1642 年发明的。

26．1900年，德国数学家 希尔伯特 在巴黎国际数学家大会上提出了_23__ 个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。

27．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家_卡当__，首先获得四次方程一般解法的数学家是__费拉利。 28．欧氏几何、罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例，其中 欧氏几何 对应的情形是曲率恒等于零，罗巴契夫斯基几何 对应的情形是曲率为负常数。

29．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《 九章算术 》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的__赵爽__。

30．世界上讲述方程最早的著作是(中国的《九章算术》)

31．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为(.帕波斯)。 32．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是(六十进制)。33．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著(《墨经》)。

34．数学著作《数书九章》不属于“算经十书”的是()。 35．微积分诞生于(17 世纪)。

36．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是(毕达哥拉斯学派)。 37．最早记载勾股定理的我国古代名著是(《九章算术》)。 38．首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是(中国？)。

39．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是 (公理)。 40．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是(3.14 )。 41．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的(求极值的方法)。 42．祖冲之的代表作是（《缀术》）

43．《九章算术》内容丰富，全书共有__九__章，大约有_246_个问题。

44．世界上第一个把π 计算到 3.1415926＜π ＜3.1415927 的数学家是 祖冲之。

45．亚力山大晚期一位重要的数学家是___帕波斯__，他唯一的传世之作《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作。

46．古希腊亚历山大时期的数学家 阿波罗尼兹 在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线理论，其著作《 圆锥曲线 》代表了希腊演绎几何的最高成就。 47．发现不可公度量的是古希腊 毕德哥拉斯 学派，该发现导致了数学史上的第__一_次数学危机。

48．我国的数学教育有悠久的历史，___隋唐_代开始在国子寺里设立“算学”，唐至五代 代则在科举考试中开设了数学科目，叫“明算科”。 49．《几何基础》的作者是__希尔伯特_，该书所提出的公理系统包括五_组公理。 50．用“分割法”建立实数理论的数学家是_戴德金___，该理论建立于 _19世纪。

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