线性规划的实际应用举例
为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。
1 物资调运中的线性规划问题
例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少?
解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运 20-y万个到乙地。
从而有
z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。
作出以上不等式组所表示的平面区域 (图1)，即可行域。
令z'=z-7000=20x+30y.
作直线l：20x+30y=0，
把直线l向右上方平移至ll的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，
z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，zmin=20×30+30×0+7000=7600(元)。
答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。
2 产品安排中的线性规划问题
例2 某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4
吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。每1吨甲种饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?
分析：将已知数据列成下表1。
表1 例2表
解：设生产甲、乙两种饲料分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么
z=400x+500y。
作出以上不等式组所表示的平面区域(图2)即可行域。
作直线l：400x+500y=0。并把l向右上方平移，由于l1：4x+5y=6000与l平行，所以线段MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得M(250，1000)，N(0，1200)。
取整点M(250，1000)，即x=250，y=1000时，
zmax=400×250+500×1000=600000(元)=60(万元)。
答：可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料1000吨，能使利润总额达到最大。最大利润为60万元。
注：课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。例2使我们认识到最优解的个数还有其他可能，这里不再深入探究。
3 配料与下料中的线性规划问题
例3 甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如表2。
表2 例3表
维生素A(单位/千克) 维生素B(单位/千克) 成本(元/千克) 甲 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4
某食物营养研究所想用xkg甲种食物，ykg乙种食物，zkg丙种食物配成100kg混合食物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。 1)用x，y表示混合食物的成本c(元)； 2)确定x，y，z的值，使成本最低。
解：1)依题意有：
x+y+z=100 (3)
c=11x+9y+4z (4)
由(3)得z=100-x-y，代入(4)得：
c=11x+9y+4(100-x-y)=7x+5y+400，其中x＞0，y＞0。
2)将z=100-x-y代入(1)，(2)，并化简，得