1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sinα
(2)商数关系：＝tanα.
cosα
2．下列各角的终边与角α的终边的关系
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 图示 与角α终边的关系 角 相同 π－α 关于原点对称 π－α 2 关于x轴对称 π＋α 2图示 与角α终边的关系 3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 一 2kπ＋α(k∈Z) sin_α cos_α 二 π＋α －sin_α －cos_α 三 －α －sin_α cos_α 四 π－α sin_α －cos_α 五 π－α 2cos_α sin_α 六 π＋α 2cos_α －sin_α 关于y轴对称 关于直线y＝x对称 正切 口诀
【思考辨析】
tan_α tan_α －tan_α －tan_α 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × ) sinα
(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．( × )
cosα
(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( × )
π
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶
2数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )
5
1．(教材改编)已知α是第二象限角，sinα＝，则cosα等于( )
135A．－
135C. 13答案 B
5
解析 ∵sinα＝，α是第二象限角，
1312
∴cosα＝－1－sin2α＝－. 13
1＋sinx1cosx
2．已知＝－，那么的值是( )
cosx2sinx－11
A. 2C．2 答案 A
1＋sinxsinx－1sin2x－1
解析 由于·＝＝－1，
cosxcosxcos2x故
cosx1＝. sinx－12
1B．－ 2D．－2 12B．－ 1312D. 13
1π
3．已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( )
42
25A．－
525C．± 5答案 B
25B. 5D.5 2
12
解析 sin(π－α)＝sinα＝log8＝－，
43π5
又α∈(－，0)，得cosα＝1－sin2α＝，
23sinα25
tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝.
cosα5π?22π
－α＝，则sin?α－?＝________. 4．已知cos?3??6?3?2
答案 －
3
π2ππ－α?＋?α－?＝－， 解析 ∵?3??6??22πππ?
－α， ∴α－＝－－?32?6?2πππ
α－?＝sin?－－?6－α?? ∴sin?3???2?
??
ππ
－α?? ＝－sin?2＋??6?
??
π?2－α＝－. ＝－cos??6?3
π??2cos 3x，x≤2000，
5．已知函数f(x)＝?则f[f(2 016)]＝________.
??x－16，x>2000，答案 －1
解析 ∵f[f(2 016)]＝f(2016－16)＝f(2000)， 2000π2
∴f(2000)＝2cos＝2cosπ＝－1.
33
题型一 同角三角函数关系式的应用
例1 (1)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于( ) 4
A．－
3
5B. 4
3C．－
44D. 5
15π3π
(2)已知sinαcosα＝，且＜α＜，则cosα－sinα的值为( )
842A．－
3
2
B.3 2
3C．－
4
答案 (1)D (2)B
3D. 4
解析 (1)由于tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝ sin2θ＋cos2θsin2θsinθcosθ
＋－2cos2θcos2θ＝ sin2θ
＋1cos2θ
tan2θ＋tanθ－222＋2－24＝＝2＝. 5tan2θ＋12＋15π3π
(2)∵＜α＜，
42
∴cosα＜0，sinα＜0且cosα>sinα， ∴cosα－sinα＞0.
13又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，
84∴cosα－sinα＝
3. 2
sinα
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以
cosα实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα等于( )
A．－1 C.2
2
B．－D．1
2 2
答案 A
解析 由??sinα－cosα＝2，
?sin2α＋cos2α＝1，
消去sinα得：2cos2α＋22cosα＋1＝0， 即(2cosα＋1)2＝0， ∴cosα＝－22
. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4
，
∴tanα＝tan3π
4
＝－1.
题型二 诱导公式的应用
例2 (1)已知sin??α＋π12??＝1
3，则cos??α＋7π12??的值为________． (2)已知A＝sin?kπ＋α?cossinα＋?kπ＋α?
cosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是( A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
答案 (1)－1
3
(2)C
解析 (1)cos??α＋7π12??＝cos????α＋ππ
12??＋2?? ＝－sin?π?α＋12??＝－13
. (2)当k为偶数时，A＝sinαcosα
sinα＋cosα＝2；
k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosα
cosα＝－2.
∴A的值构成的集合是{2，－2}． 思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．
②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π
2的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：π3－α与πππππ
6＋α；3＋α与6－α；4＋α与4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π3π
4＋θ与4
－θ等．
)