实验四 傅里叶变换、系统的频域分析
一、 实验目的
1、学会用MATLAB实现连续时间信号傅里叶变换 2、学会用MATLAB分析LTI系统的频域特性 3、学会用MATLAB分析LTI系统的输出响应 二、实验原理
1．傅里叶变换的MATLAB求解
MATLAB的symbolic Math Toolbox 提供了直接求解傅里叶变换及逆变换的函数fourier()及ifourier()两者的调用格式如下。 Fourier 变换的调用格式
F=fourier(f)：它是符号函数f的fourier变换默认返回是关于w的函数。
F=fourier(f，v):它返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是默认的w，即
F(v)??????f(x)e?jvxdx
Fourier逆变换的调用格式
f=ifourier(F):它是符号函数F的fourier逆变换，默认的独立变量为w，默认返回是
关于x的函数。
f=ifourier(f,u):它的返回函数f是u的函数，而不是默认的x.
注意：在调用函数fourier()及ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量（如t,u,v,w）进行说明,即将这些变量说明成符号变量。 例4-1 求f(t)?e?2t的傅立叶变换
解: 可用MATLAB解决上述问题： syms t
Fw=fourier(exp(-2*abs(t)))
例4-2 求F(jw)?1的逆变换f(t) 21??解： 可用MATLAB解决上述问题 syms t w
ft=ifourier(1/(1+w^2),t)
2．连续时间信号的频谱图
例4-3 求调制信号f(t)?AG?(t)cos?0t的频谱，式中
A?4,?0?12?,??1??,G?(t)?u(t?)?u(t?) 222解：MATLAB程序如下所示
ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(Heaviside(t+1/4)-Heaviside(t-1/4))'); Fw=simplify(fourier(ft))
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subplot(121)
ezplot(ft,[-0.5 0.5]),grid on subplot(122)
ezplot(abs(Fw),[-24*pi 24*pi]),grid
用MATLAB符号算法求傅里叶变换有一定局限，当信号不能用解析式表达时，会提示出错，这时用MATLAB的数值计算也可以求连续信号的傅里叶变换，计算原理是
F(j?)??f(t)e????j?tdt?lim?f(n?)e?j?n??
??0n????当?足够小时，近似计算可满足要求。若信号是时限的，或当时间大于某个给定值时，信号已衰减的很厉害，可以近似地看成时限信号时，n的取值就是有限的，设为N，有
F(k)??f(n?)e?j?kn??n?0N?1,0?k?N,?k?2?k 是频率取样点 N?时间信号取样间隔?应小于奈奎斯特取样时间间隔，若不是带限信号可根据计算精度要求确定一个频率 W0为信号的带宽。
例4-4 用数值计算法求信号f(t)?u(t?1)?u(t?1)的傅里叶变换
解，信号频谱是F(j?)?2Sa(?)，第一个过零点是?，一般将此频率视为信号的带宽，若将精度提高到该值的50倍，既W0=50?，据此确定取样间隔，??R=0.02;t=-2:R:2;
f=Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1); W1=2*pi*5;
N=500;k=0:N;W=k*W1/N; F=f*exp(-j*t'*W)*R; F=real(F);
W=[-fliplr(W),W(2:501)]; F=[fliplr(F),F(2:501)]; subplot(2,1,1);plot(t,f); xlabel('t');ylabel('f(t)'); title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); subplot(2,1,2);plot(W,F); xlabel('w');ylabel('F(w)'); title('f(t)的付氏变换F(w)');
3．用MATLAB分析LTI系统的频率特性
当系统的频率响应H（jw）是jw的有理多项式时，有
1?0.02 2F0jwM)?1?L?b1jw(?)b0B(w)bM(jw)M?bM?1( H(jw)? ?NN?1A(w)aN(jw)?aN?1(jw)?L?a1(jw)?a018
MATLAB信号处理工具箱提供的freqs函数可直接计算系统的频率响应的数值解。其调用格式如下
H=freqs(b,a,w)
其中，a和b分别是H(jw)的分母和分子多项式的系数向量，w为形如w1:p:w2的向量，定义系统频率响应的频率范围，w1为频率起始值，w2为频率终止值,p为频率取样间隔。H返回w所定义的频率点上，系统频率响应的样值。
例如，运行如下命令，计算0~2pi频率范围内以间隔0.5取样的系统频率响应的样值 a=[1 2 1]; b=[0 1];
h=freqs(b,a,0:0.5:2*pi)
例 4-5 三阶归一化的butterworth 低通滤波器的频率响应为
H(jw)?1 32(jw)?2(jw)?2(jw)?1 试画出该系统的幅度响应H(jw)和相位响应?(?)。
解 其MATLAB程序及响应的波形如下 w=0:0.025:5; b=[1];a=[1,2,2,1]; H=freqs(b,a,w); subplot(2,1,1);
plot(w,abs(H));grid; xlabel('\\omega(rad/s)'); ylabel('|H(j\\omega)|'); title('H(jw)的幅频特性'); subplot(2,1,2);
plot(w,angle (H));grid; xlabel('\\omega(rad/s)'); ylabel('\\phi(\\omega)'); title('H(jw)的相频特性');
4．用MATLAB分析LTI系统的输出响应
例 4-6已知一RC电路如图所示 系统的输入电压为f(t)，输出信号为电阻两端的电压y(t).当RC=0.04，f(t)=cos5t+cos100t, ???t??? 试求该系统的响应y(t)
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+ f(t) - C R + y(t) -
解 由图可知 ，该电路为一个微分电路，其频率响应为 H(jw)?Rjw ?R?1jwCjw?1RC 由此可求出余弦信号cos?0t通过LTI系统的响应为
y(t)?H(j0w)co?s0(?t??0( ))计算该系统响应的MATLAB程序及响应波形如下
RC=0.04;
t=linspace(-2,2,1024); w1=5;w2=100;
H1=j*w1/(j*w1+1/RC); H2=j*w2/(j*w2+1/RC); f=cos(5*t)+cos(100*t);
y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+ abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2)); subplot(2,1,1); plot(t,f); ylabel('f(t)'); xlabel('Time(s)'); subplot(2,1,2); plot(t,y); ylabel('y(t)'); xlabel('Time(s)'); 三、 上机实验内容
1.验证实验原理中所述的相关程序； 2.试用MATLAB求单边指数数信号f(t)?e3.设H(jw)??atu(t)的傅立叶变换，并画出其波形；
1，试用MATLAB画出该系统的幅频特性H(jw)和相20.08(jw)?0.4jw?1频特性?(?)，并分析系统具有什么滤波特性。
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