第十六章 二次根式

16.1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

学习目标：1.理解二次根式的概念；

2.掌握二次根式有意义的条件；

3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.

重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.

难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.

自主学习 一、知识链接

1.什么叫作平方根？

2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？

二、新知预习

1. 用带根号的式子填空:

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(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m,则边长为 m；若面积为S m，则边长为______ m． 图? 图?

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(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m，则它的宽为_____m．

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单

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位：m）满足关系 h =5t，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 2.自主归纳：

（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如a?a____0?的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号. （2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.

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三、自学自测

1.下列各式中是二次根式的是（ ） A.33 B.4 C.3?π D.2.二次根式5?x有意义的条件是_____________. ??1?3 四、我的疑惑

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课堂探究 一、要点探究

探究点1：二次根式的意义及有意义的条件 问题1 2,S,3,h分别表示什么意义？ 5

问题2 这些式子有什么共同特征？

要点归纳：一般地，我们把形如a?a≥0?的式子叫作二次根式. “”称为_______.

典例精析 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

(1) 32; (2) 6; (3) ?12; (4)-m?m≤0?；(5) xy?x,y异号?; (6) a2?1; (7)35.

方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：①外貌特征：含有“内在特征：被开方数a≥0. 例2 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

”；②

（1）1x?1；(2)x?3.x?1

方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.

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【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)?x2?2x?1;(2)?x2?2x?3.

方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.

针对训练 31.下列各式:3;?5;a2;x?1?x≥1?；27;x2?2x?1一定是二次根式的个数有( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

2.(1)若式子x?1在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________;

2 (2)若式子

1?x在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x?2

探究点2：二次根式的双重非负性

问题1：当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3呢？

问题2：二次根式a的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？

要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式a，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0； （2）a表示一个数或式的算术平方根，可知a_____0. 典例精析 例3 若a?2?b?3?(c?4)?0，求a-b+c的值.

方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.

例4 已知y=x?3?3?x?8,求3x+2y的算术平方根.

【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b?3?a?2a?6?4，

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