阿贝成像原理和空间滤波
【学习重点】
1． 了解光学付立叶变换的原理。掌握正透镜作为光学付立叶元件在实验上对付立叶变换
的实现。
2． 对光学空间谱和滤波、调制等光学信息处理手段有一定感性认识。 3． 掌握阿贝成像原理的物理机制，了解透镜孔径对分辨率的影响。 【仪器用具】
光具座、He-Ne激光器、白光光源、20cm聚焦透镜两个、显微镜物镜、可变旋转狭缝、可变圆孔光阑，300目铜网和网字格，?调制图像 【预习重点】
1. 空间滤波的光路要求和激光扩束准直的实现。 2. ??调制的光路要求。 【背景知识】 1. 傅立叶变换
近代光学中，对光的传播和成像过程用傅立叶变换来表达，形成了傅立叶光学，可以处理一些无法用经典光学理论解决的问题。傅立叶变换时处理振荡和波这类问题的有力工具。对振动和波的傅立叶分析一般在时域和频域中进行，而对光的传播与成像分析是在空间和倒数空间中进行的。不考虑时域，单色平面光波的表达式如下：
f(r)?Aexp[i(k?r??0)] （1）
直角坐标系中，k的方向余弦为(cos?,cos?,cos?)，r为（x，y，z）
k?r?2?2??(xcos??ycos?,zcos?) （2）
2?2?波矢量的物理意义可以理解为平面波的空间频率，在x，y，z方向上三个分量分别为
fx??cos?, fy??cos?, fz??cos? （3）
在傅立叶光学中，将物光作为一个输入函数（物函数），研究其经过具有傅立叶变换作用的光学元件后在接收面上得到的输出函数（像函数）。以物是平面图像为例，物函数g（x，y）可以表示成一系列不同空间频率的单色平面波的线性叠加，即
?g(x,y)???G(fx,fy)exp[i2?(xfx?yfy)]dfxdfy (4)
??其中G(fx,fy)被称为物函数的空间频谱函数。它可以由物函数g(x,y)求得，其关系式为
G(fx,fy)???g(x,y)exp[?i2?(fxx?fyy)]dxdy (5)
???（4）（5）式为傅立叶正变换与逆变换公式。在实验实现上，一个完善的薄透镜是一个二维付立叶变换运算器，对于放
图1
置在物方焦面上物，在象方焦面上所成象就是物的付立叶变换，即在象方焦面上得到是物函数的频谱（如图1）。
2. 光栅（空间周期性）物函数的傅立叶变换
光栅的物函数表达
??1g(x)???0?频谱表达
bb?x?nd?22 (6) bbnd??x?(n?1)d?22nd?A?AoGo?Ao?Gncos(2?nfnx)n?A?AoGo?o?Gn[exp(i2?fnx)?exp(?i2?fnx)]2 (7)
其中fn=n/d，即光栅的第n级空间频谱， A为垂直照射在光栅上的平面波振幅。AoGo是零级衍射光，方括号内第一项为正衍射级，第二项为负衍射级，在空间频谱中它们分别为零频，正频和负频。
3. 阿贝成像原理
阿贝认为在相干平行光照射下，显微镜的成像可分为两个步骤。第一个步骤是通过物的衍射在物镜后焦面上形成一个初级干涉图；第二个步骤则为物镜后焦面上的初级干涉图复合为像（图1）。成像的这两个步骤本质上就是两次傅里叶变换。物的复振幅分布是g(x,y)，可以证明在物镜的频谱面（后焦面）上的复振幅分布是g(x,y)的傅里叶变换G(fx,fy)。所以第一个步骤起的作用就是把光场分布变为空间频率分布。而第二个步骤则是又一次傅里叶变换将G(fx,fy)又还原到空间分布g’(x’,y’)。物是空间不同频率的信息的集合,第一次付立叶变换是分频的过程,第二次付立叶逆变换是合频过程,形成新的不同频率的信息的集合—象.( 付立叶变换在物理上代表原函数—空间周期函数的频谱)。
如果这两次傅氏变换完全是理想的，信息在变换过程中没有损失，则像和物完全相似。 但由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入物 镜而被丢弃了。所以物所包含的超过一定空间频率的成分就不能包含在像上。（？高频信息反映物的细节还是轮廓，请同学们在实验中做低通滤波处理时验证）。如果高频信息没有到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不能在像平面上分辨这些细节。这是显微镜分辨率受到限制的根本原因。
g(x,y)
G(fx,fy)
g’(x’,y’)
图2
4. 光学滤波与??调制
在光学信息处理中，依据傅立叶逆变换公式，通过改变频谱函数，就可改变象函数。在频谱面上人为地放置一些滤波器，以该变频谱面所需位置上的光振幅或位相，便可得到所需要的象函数。这个改变频谱函数的过程就是空间滤波。最简单的滤波器就是一些特殊形状的光阑(如图三)。??调制是白光照射透明物体,物体不同部分是取向不同的刻痕光栅,在接收面上形成彩色图像。（？①方向滤波处理时频谱函数改变与象函数改变的对应关系是什么，请同学们在实验中做自己总结②如何利用方向滤波处理时的结论来完成??调制实验）
图3 常见的振幅型空间滤波器