2014IMO（Cape town，SouthAfrica）

Language: Chinese (Simplified) Day: 1

2014年7月8日, 星期二

第1 题. 设a0 < a1 < a2

数n ≥ 1使得

a0?a1?? ? ??annan < ≤ an+1

第2 题. 设n ≥ 2 是一个整数. 考虑由n2 个单位正方形组成的一个n

× n 棋盘. 如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”，则这种放置

n 个棋子“车”的方案被称为是和平的.求最大的正整数k, 使得对于任何一种和平放置n 个“车”的方案, 都存在一个k × k 的正方形, 它的k2 个单位正方形里都没有“车”.

第3 题. 在凸四边形ABCD 中?ABC = ?CDA =

?. 点H 是A 向BD 2引的垂线的垂足. 点S 和点T 分别在边AB 和边AD 上, 使得H 在三

??角形SCT 内部, 且?CHS??CSB = ，?THC ??DTC = 2 .证明: 直线

2BD 和三角形TSH

的外接圆相切.

Language: Chinese(Simplified) 时间: 4 小时30 分 每题7 分

2014IMO（Cape town，SouthAfrica）

Language: Chinese (Simplified) Day: 2

2014 年7 月9 日, 星期三

第4 题. 点P 和Q 在锐角三角形ABC 的边BC 上, 满足?PAB =

?BCA 且?CAQ =?ABC. 点M 和N 分别在直线AP 和AQ 上, 使得P

是AM 的中点,且Q 是AN 的中点. 证明: 直线BM 和CN 的交点在三角形ABC 的外接圆上.

第5 题. 对每一个正整数n, 开普敦银行都发行面值为

1的硬币. 给定总n额不超过99+的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同) , 证明可以把它们分为至多100组, 使得每一组中硬币的面值之和最多是1.

第6 题. 平面上的一族直线被称为是处于一般位置的, 如果其中没有两

12条直线平行, 没有三条直线共点. 一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域, 我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域. 证明: 对于充分大的n 和任意处于一般位置的n 条直线, 我们都可以把其中至少n 条直线染成蓝色, 使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.

注: 如果你的答卷上证明的是cn(而不是n) 的情形, 那么将会根据

常数c 的值给分.

Language: Chinese(Simplified) 时间: 4 小时30 分 每题7 分