第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【考纲解读】
考 点 1.任意角的概念、弧度制 2.三角函考纲内容 了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算. 理解正弦函数、余弦函无 无 5年统计 分析预测 1.三角函数的定义； 2.扇形的面积、弧长及圆心角. 3.备考重点： (1) 理解三角函数的定义； (2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式. 数的定义 数、正切函数的定义. 【知识清单】
1．象限角及终边相同的角 1．任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)． 2.弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． 对点练习：
9π
下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
49
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋π(k∈Z)
4C.k·360°－315°(k∈Z) 【答案】C.
5π
D.kπ＋(k∈Z)
4
lrlr
确.
2．三角函数的定义
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
yx三角函数线 有向线段MP为正弦线 对点练习：
【河南省林州一中2017-2018上学期开学】已知角?终边经过点P?（ ） A.
有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 ?31?cos???2,2??，则??3311 B. C. D. ?
2322【答案】B
【解析】由于r?OP?1,x?B.
3. 扇形的弧长及面积公式
x33，所以由三角函数的定义可得cos???，应选答案r22112
弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r.
22对点练习：
已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 10π1
【答案】(1) (cm).(2)圆心角为.(3)l＝10，α＝2.
32
ππ10π
【解析】(1)α＝60°＝ rad，∴l＝α·R＝×10＝(cm).
333
2
【考点深度剖析】
高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．
【重点难点突破】
考点1 象限角及终边相同的角 【1-1】已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合M=?xx?的关系．
【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2)M?N. 【解析】(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：
??kk????180?45,k?Z?,N=?xx??180?45,k?Z?，判断两集合24???