第三章 导数与微分

一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求

1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.

2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.

3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.

4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系.

重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.

难点 求复合函数和隐函数的导数的方法.

（二） 内容提要

1.导数的概念 ⑴导数

设函数y?f(x)在点x的某一邻域内有定义，当自变量x在点x处有增量?x(?x?0)，x??x仍在该邻域内时，相应地，函数有增量?y?f(x??x)?f(x)，若极限

00000lim ?x?0f(x0??x)?f(x0)?y?lim ?x?0?x?x00存在，则称f(x)在点x处可导，并称此极限值为f(x)在点x处的导数，记为f?(x)，也可记为y?(x0),y?0x?x0,dydf或，即

dxx?x0dxx?x0

f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x.

若极限不存在，则称y?若固定x，令x0000f(x)在点x0处不可导.

??x?x，则当?x?0时，有x?x0，所以函数f(x)在

点x处的导数f?(x)也可表示为

f?(x)?limf(x)?f(x).

00x?0x?x0⑵ 左导数与右导数

1

① 函数f(x)在点x处的左导数

0 f?(x)＝lim?y?limf(x?00?x?0??x?x?0???x)?f(x0).

?x② 函数f(x)在点x处的右导数

0f??(x0)＝lim?x?0?0?yf(x0??x)?f(x0). ?lim?x?x?0?x?③函数f(x)在点x处可导的充分必要条件是f(x)在点x处的左导

0数和右导数都存在且相等．

２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线

在曲线上点M的附近，再取一点M1，作割线MM1，当点M1沿曲线

移动而趋向于M时，若割线MM1的极限位置MT存在，则称直线MT为曲线在点M处的切线． ⑵导数的几何意义

函数y?f(x)在点x处的导数表示曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率.

关于导数的几何意义的3点说明:

①曲线y?f(x)上点(x,y)处的切线斜率是纵标变量y对横标变量x的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.

000?y②如果函数y?f(x)在点x0处的导数为无穷(即?x?0?x??,此时f(x)lim在x0处不可导),则曲线y?f(x)上点(x0,y0)处的切线垂直于x轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于x轴的切线.

3.变化率

函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.

4.可导与连续的关系

若函数y?f(x)在点x处可导，则y?f(x)在点x处一定连续.但反过来不一定成立，即在点x处连续的函数未必在点x处可导.

5. 高阶导数

2

⑴二阶导数

函数y?f(x)的一阶导数y??f?(x)仍然是x的函数，则将一阶导数

f?(x)的导

d2y数(f?(x))?称为函数y?f(x)的二阶导数，记为f??(x)或y??或2，即

dx2d?dy?dy??=(y?)? 或 y=??. dx2dx?dx?⑵n阶导数

(n?1)阶导数的导数称为n阶导数（n=3，4，?,(n?1),n）分别记 为

f???(x)

,f(4)(x) , ?,f(n?1)(x),f(n)(x)，

或y???, y(4) ,? ,y(n?1),yn，

d3yd4ydn?1ydny或3, 4 ,? n?1, n， dxdxdxdx二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.

6 . 微分 ⑴微分的定义

如果函数y?f(x)在点x处的改变量?y?f(x??x)?f(x)，可以表示成

?y?A?x?o(?x)，

其中o(?x)是比?x(?x?0)高阶的无穷小，则称函数y?f(x)在点x处可微，称A?x为?y的线性主部，又称A?x为函数y?f(x)在点x处的微分，记为dy或df(x)，即dy?A?x.

⑵微分的计算

df(x)?f?(x)dx，其中dx??x,x为自变量. ⑶一阶微分形式不变性

对于函数f(u),不论u是自变量还是因变量,总有df(u)?f?(u)du成立.

7. 求导公式 微分公式

表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.

表3.1求导与微分公式 求导公式 微分公式

3

c??0 (c为常数) (x?)???x??1 (?为实数) (ax)??axlna (ex)??ex (logax)??1 xlna (c为常数) ) d(x?)??x??1dx (?为实数d(ax)?axlnadx d(ex)?exdx 1d(logax)?dx xlnadc?0 基本初等函数(secx)??secxtanx 求导公式 (cscx)???cscxcotx (arcsinx)??(arccosx)???1 x(sinx)??cosx (cosx)???sinx (tanx)??sec2x (cotx)???csc2x (lnx)??d(lnx)?1dx x基本d(tanx)?sec2xdx 初等d(cotx)??csc2xdx 函数d(secx)?secxtanxdx 微分公式 d(cscx)??cscxcotxdx 2d(sinx)?cosxdx d(cosx)??sinxdx 11?x11?x2 d(arcsinx)?12(arctanx)??1 21?x11?x2(arccotx)??? 1?x1d(arccosx)??dx 21?x1d(arctanx)?dx 21?x1d(arccotx)??dx 21?xdx

对求导公式作如下两点说明: (1)

求导公式{f[?(x)]}?表示函数f[?(x)]对自变量x的导数，即

{f[?(x)]}?=

df[?(x)], dx(2) 求导公式f?[?(x)]表示函数f[?(x)]对函数?(x)的导数，即

f?[?(x)]=

df[?(x)]. d?(x)8. 求导法则 微分法则

⑴求导法则,微分法则见下表3.2 ⑵复合函数求导法则 ⑶参数方程求导法则 ⑷隐函数求导法 ⑸对数求导法

表3.2 求导与微分法则表

4

求导法则 微分法则 函?u(x)??(x)???u?(x)???(x) 函d?u(x)??(x)??du(x)?d?(x) 数?u(x)?(x)???u?(x)?(x)?u(x)??(x) 数d?u(x)?(x)???(x)du(x)?u(x)dv(x) 的的d?cu(x)??cdu(x) (c为常数) ??c?u(x)??c?u?(x) (c为常数) 四四?u(x)??(x)du(x)?u(x)d?(x)则?u(x)?u?(x)?(x)?u(x)??(x)则d?(?(x)?0)???2(?(x)?0)??(x)??2 ?(x)??(x)??(x)运??运算算求 微d?1???d?(x)(?(x)?0) ??(x)?2??(x)??导?1?分??(x)(?(x)?0) ????2?(x)?(x)法?法?则 则 复设y?f(u)，u??(x)，则复复设函数y?f(u)，u??(x),则函合合函数y?f??(x)?的导数为 合数y?f(u)的微分为dy?f?(u)du，此函 dy?dy?du 函式又称为一阶微分形式不变性 dxdudx数数求微导分法法则 则 dy参?x??(t)dydt 或 dy=??(t) y若参数方程确定了是的函数，则x??数dx??(t)dxdx?y??(t)方dt程确定的函数的导数 5