反函数求 导法则 设y?f(x)的反函数为x??(y)，则f?(x)?1(??(y)?0)或 dy?1 ??(y)dxdxdy9. 微分近似公式 （1）微分进行近似计算的理论依据

对于函数y?f(x),若在点x0处可导且导数f?(x0)?0，则当?x很小时，有函

数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式?y?dy.

(2) 微分进行近似计算的4个近似公式

设函数y?f(x)在点x0处可导且导数f?(x0)?0，当?x很小时，有近似公式?y?dy，即

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x，

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x，

令x0??x?x，则

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，

特别地，当x0?0，x很小时，有

f(x)?f(0)?f?(0)x .

二、主要解题方法 1．用导数的定义求函数导数的方法 例1 求y?xx在x?0处的导数. 解 由导数的定义知

f?(0)?limf(0??x)?f(0)?x?x?0?lim?lim?x?0. ?x?0?x?0?x?x?x?0例2 求 f(x)???ln?1?x?，，?x

x?0x?0 ，的导数.

解 当x?0时，f?(x)?1 ， 1?x当x?0时，f?(x)?1， 当x?0时，f?(0)?limx?0

f(x)?f(0)f(x)?f(0)?lim， x?0x?0x6

x?0?1， 所以 f??(0)?limx?0?xln(1?x)?0xf??(0)?lim?limln(1?x)?lne?1，

x?0?x?0?x1因此 f?(0)?1，

?1?于是 f?(x)??1?x??1,,

x?0,x?0.

小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得. 2．

用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法

x?x?3x?13例3 设f(x)?解 f(x)?x23,求f?(x).

16?13x?x?3x?13x?x?x?1?x，

54??2?111f?(x)?x3?x6?x3.

363例 4 设y?ln(x?x?1) 求 y?. 解 利用复合函数求导法求导，得

y??[ln(x?x2?1)]??1x?x2?1(x?x2?1)?

?1x?x2?11x?x2?11x?x?12[1?(x2?1)?]

12x2?1xx?12?[1?(x2?1)?]

1x?12?[1?]?.

小结 若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求

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高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数f(x)在点x0可导，否则法则失效.如y?xx在x?0点，用四则运算法则求导，y?(0)不存在，但由例1知 y?xx在x?0的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的. 3．对数求导方法

x(x2?1)例 5 已知 y= ，求y?.

(x?2)2x解 两边取对数，得：lny?两边对同一自变量x求导，得

1lnx?ln(x2?1)?2ln(x?2)， x??1?1112x2?y??2[lnx?ln(x2?1)?2ln(x?2)]?[?2?]， yxxx?1x?2xxy??x(x2?1)1x(x2?1)122[?ln???]. 22222(x?2)x(x?2)xx?1x(x?2)小结 对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的. 4．隐含数的求导法

例 6 已知 arctan?lnx2?y2,求y??. 解 两端对x求导，得

1x?()??xy1?()2y?2x?2y?y?2x?y22xy1x2?y2(x2?y2)?，

y2y?xy???222x?yy1x?y22，

整理得 (y?x)y??y?x ，故 y??y?x， y?x 8

上式两端再对x求导，得

y???(y??1)(y?x)?(y??1)(y?x)(y?x)2

yy??y?xy??x?yy??xy??y?x?(y?x)2=

2xy??2y， 2(y?x)y?x将 y??代入上式，得

y?x2x?y???y?x?2yy?x2xy?2x2?2y2?2xy2(x2?y2). ???233(y?x)(x?y)(y?x)小结 在对隐函数求二阶导数时，要将y?的表达式代入y??中，注意，在y??的最后表达式中，切不能出现y?. 5．由参数方程所确定的函数的求导法

?x?t?cost，d2y例7 设? 求 2.

，dx?y?sint?)dy(sitnctos??解 ， ?dx(t?cots)1?sitnd2ydy?dcostdcostdtcost?1??()?()??() dx2dxdx1?sintdt1?sintdx1?sintdxdt?sint(1?sint)?cos2t1?1. ???(1?sint)21?sint(1?sint)2小结 求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分dy、dx，然后作比值

dy，即作微商.求二阶导数时，应dx按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导. 6．求函数微分的方法

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例8 求函数y?xelntanx的微分.

解一 用微分的定义dy?f?(x)dx求微分， 有

dy?(xelntanx)?dx?[elntanx?xelntanx1?sec2x]dx tanx?elntanx(1?2x)dx. sin2x 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得 dy?d(xelntanx)?elntanxdx?xdelntanx

?elntanxdx?xelntanxd(lntanx)

?elntanxdx?xelntanx??elntanxdx?xelntanx?elntanx(1?1d(tanx) tanx11?dx 2tanxcosx2x)dx. sin2x小结 求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便. 7．利用微分求近似值 例9 求sin29?的近似值.

解 设f(x)?sinx ，由近似公式f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x，得 sinx0(??x)?sinx0?coxs0??x， 取 x0???,?x?? ，则有 6180 sin290??123?(?)?0.4849. 2180例10 有一批半径为1cm的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为0.01cm，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9gcm）

3解 所镀铜的体积为球半径从1cm增加0.01cm时，球体的增量.故

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