八（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器
G?z??18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4
?1?0.3333z??12
九、（10分）低通滤波器的技术指标为：?p?0.2?，?s?0.3?，?p??s?0.001，请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。 十、（20分）用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843
十一、（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：
y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd? 求一个能从y?n?恢复x?n?的可实现的滤波器．
6
附录：
表1 一些常用的窗函数 矩形窗(rectangular window) ?10?n?Mw[n]??其它 ?02?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n??0.54?0.46cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? 汉宁窗(Hann window) 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window) Window 表2 一些常用窗函数的特性 Relative Minimum Main Lobe width ?ML sidelobe level stopband Asl attenuation 4?/(2M+1) 8?/(2M+1) 8?/(2M+1) 12?/(2M+1) 13.3dB 31.5dB 42.7dB 58.1dB 20.9dB 43.9dB 54.5dB 75.3dB Transition bandwidth ?? 0.92?/M 3.11?/M 3.32?/M 5.56?/M Rectangular Hann Hamming Blackman
?c=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式：
Ha(s)?N 1 2 3 4 5 1sN?a1sn?1?a2sn?2???aN?1s?aN
表3 阶数1? N? 5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 a1 a2 a3 a4 a5 1.0000 1.4142 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000
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《数字信号处理》考试答案
总分：100分
1、（8分）求序列
(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}的共扼对称、共扼反对称部分。 (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}周期共扼对称、周期共扼反对称部分。
*解：(a) {h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5}
Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}
Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}
(b)h[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} *Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5}
Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}
2、（8分）系统的输入输出关系为
y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0
判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。
解：非线性、因果、不稳定、时移变化。
3、（8分）求下列Z变换的反变换
z?z?2?H?z???z?0.2??z?0.6?，z?0.2
解：
z?z?2?1?2z?12.751.75H?z??????z?0.2??z?0.6?1?0.2z?11?0.6z?11?0.2z?11?0.6z?1
nnh?n???2.75?0.2?u??n?1??1.75??0.6?u??n?1?
4、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为
????H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4
求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。
?4?3?2?1 解：H?z??z?0.3z?2.5z?0.8z?1.5 5、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。
（c） （a） 求其他零点的位置 （d） （b） 求滤波器的传输函数
8
解：（a）z?4，
z?111z??1?j?z??1?j?4，z?1?j，z?1?j，22，，z?1，
z??1
H?z??1?z?11?z?11??1?j?z?11??1?j?z?1????????11?1??1?1???1??1??1??1?j?z??1??1?j?z?1?4z?1?z?2??2??4? （b）???
6．（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变
换为X?k?
（1）用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换。
n（2）如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。
3k?j6?k/NV[k]?WX[k]?eX[k] N解：(1)
k1??WN?k1??WN(2)
X[k]??x[n]Wn?0N?1nkN???Wnn?0N?1nkN???Wn?0N?1?knN???N
H(z)? 7、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数
Y(z)X(z)
V
W
U
解：
?V?X?2W??1?W?azV?bU??2U?zV?XU?z?2?X?2W??X?1?z?2X?2z?2W??Y?z?2V?W?1?2?1?21?2az?2bzW?az?b?bzX ?
az?1?b?bz?2b?az?1??1?b?z?2?2?2?2Y?z?X?2W??W?zX??1?2z?X?X1?2az?1?2bz?21?2az?1?2bz?2
8、（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器
?????? 9
G?z??
18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4?1?0.3333z??12
9. （10分）低通滤波器的技术指标为：?p?0.2?，?s?0.3?，?p??s?0.001， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。
????s??p?0.1?
5.56?5.56?M???56??0.1?
2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它?
?c?(?s??p)/2?0.25?，
ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?
sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
10．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波
器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843
解：
0.0?H(ej?)?0.1
0???0.1?
。
我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为
0.9?H(ej?)?1.00.3??????s?0.1?，通带截止频率为?p?0.3?，
12且A=1/0.1=10, 1??先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
?0.9???199= 0.4843
??tan(有：
?2
)?s?tan(?s22)?tan(0.05?)?0.1584
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 用变换s?1/s?p?tan(?p
)?tan(0.15?)?0.5095??1/??1/0.5095?1.9627?pp
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