??1/??1/0.1584?6.3138?ss
所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为
s
判别因子(discrimination parameter)为：
??pk??0.3109??k1??A?12?0.04867
因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：
N?
我们取N=3, 则
log10(1/k1)?2.59log(1/k)
????p2Np2?()????c??0.7853?c?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c???2.5?2.1509， 我们可取 0.7853 如取c，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为：
1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/???/?(s/?ccc
11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s
?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3
1?z?1s??11?z最后采用双线性变换
H(z)?Ha(s)s?1?z?1
1?z?11?z?13()?11?z?1?z?11?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()?1?1?11?z1?z1?z?0.456z?3
?(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184
11.（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：
y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?
求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器．
11
解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：
?0.25z)X(z) Y(z)?(1?0.5z以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：
?nd?2ndG(z)?11?0.5z?nd?0.25z?2nd
nd 注意到：G(z)?F(z)，且 F(z)的极点在：
F(z)?11?0.5z?1?0.25z?2
z??0.25(1?j3)
它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)实现的。
?nd处，所以G(z)是可
《数字信号处理》
1． 1． (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称
部分： (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
y[n]?x[n]?x[?n]
3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量
?5?x[n]???u[?n]?3?
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（1） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换
nx[n]??（2） （2） 如果（0?n?N?1），求其N点DFT。
Y(z)H(z)?X(z) 5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数
X(z) k2 -k1 Z-1 -k2 -1 Z a2 a1
Y(z)
n 12
6．(10分)以以下形式实现传输函数为
H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。
(1) (1) 直接形式
(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。
7. (10分)低通滤波器的技术指标为：
0???0.3?
H(ej?)?0.01 0.35?????
用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
0.0?H(ej?)?0.10.99?H(ej?)?1.01 0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）
(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。
附录：
表1 一些常用的窗函数 矩形窗(rectangular window) ?10?n?Mw[n]??其它 ?0汉宁窗(Hann window) 2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n??0.54?0.46cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window) Window
表2 一些常用窗函数的特性 Relative Minimum Main Lobe width ?ML 13
Transition
sidelobe level Asl Rectangular Hann Hamming Blackman 4?/(2M+1) 8?/(2M+1) 8?/(2M+1) 12?/(2M+1) 13.3dB 31.5dB 42.7dB 58.1dB stopband attenuation 20.9dB 43.9dB 54.5dB 75.3dB bandwidth ?? 0.92?/M 3.11?/M 3.32?/M 5.56?/M
?c=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式：
Ha(s)?N 1 2 3 4 5
1sN?a1sn?1?a2sn?2???aN?1s?aN
表3 阶数1? N? 5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 a1 a2 a3 a4 a5 1.0000 1.4142 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 《数字信号处理》考试答案
总分：100分
2． 1． (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部
分： (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
*解：(a) {h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5}
Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}
Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}
(b)h[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} *Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5} Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
y[n]?x[n]?x[?n]
解： (a) 令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有
y1[n]?x1[n]?x1[?n] y2[n]?x2[n]?x2[?n]
y[n]?x[n]?x[?n]?(x1[n]?x2[n])?(x1[?n]?x2[?n])
?(x1[n]?x1[?n])?(x2[n]?x2[?n])?y1[n]?y2[n] 所以此系统为线性系统。
14
(b)
(b) 设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的输出为y1[n],则
y1[n]?x1[n]?x1[?n]?x[n?n0]?x[?(n?n0)]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n]?x[n]?x[?n] y[n?n0]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n?n0]?y1[n]
此系统为移位变化系统。 (c )假设x[n]?B，则有
y[n]?x[n]?x[?n]?x[n]?x[?n]?2B 所以此系统为BIBO稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。
3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量
能量为：
?5?x[n]???u[?n]?3?
2n?0n?x?
n???n????功率为：
52nn???5?2nn???32n1x[n]??()??()??()??25/163351?9/25n???n?0n?0
1n??k1n?052n1n??k5?2n2px?limx[n]?lim()?lim()???k??2k?1k??2k?1k??2k?13n??kn??kn?03
1n??k9n11??9/25?px?lim()?lim?0?k??2k?1k??2k?11?9/25n?025
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（3） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换
k?1（4） （2） 如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。 解：(1)V[k]?WNX[k]?eN?1n?0n3k?j6?k/NX[k]
N?1n?0(2)
nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0N?1?knN?k1??WN?k1??WN??N
5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数 V[z] X(z) k2
-k1 -k2 Z-1
15 H(z)?Y(z)X(z)
Z-1 a1 a2 Y(z)