▼▼▼2019届数学中考复习资料▼▼▼

中考总结复习冲刺练：圆中分类讨论问题归类举例

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。

一、点和圆的位置

凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。

例1.过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。

解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种： （1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则

由相交弦定理得：

所以（负值已舍去）

（2）点A在⊙O外，如图2， 此时

由割线定理得：所以

（负值已舍去）

或6。

故⊙O的半径R为

二、点与弦的相对位置

例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。

解：（1）点A和圆心O在弦BC同侧，如图3，可求得∠BAC＝∠BOD＝48°

（2）点A和圆心O在弦BC异侧，如图4，可求得∠BAC＝132°

三、弦所对的圆周角

例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为于___________。

解：弦所对的圆周角有两种情况：

（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°； （2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。 故应填60°或120°。

四、平行弦与圆心的位置

，那么这条弦所对的圆周角的度数等

例4.在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。

分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。 解：过O作AB、CD的垂线，分别交AB、CD于点E、F，连接OA、OC. 在Rt△OAE中，

在Rt△OCF中，

（1）当AB、CD在圆心O的同侧时，如图5，AB和CD之间的距离为

（2）当AB、CD在圆心O的异侧时，如图6，AB和CD之间的距离为

所以AB和CD之间的距离为1cm或7cm。

五、圆心与角的位置

例5.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为____________。

解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E 在Rt△ABE中，由勾股定理得：所以∠BAE＝30°

同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，所以 ∠EAC＝45°，

和

，则∠BAC的度数是

当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：

所以∠BAC为75°或15°

六、点在弧上的位置

例6.如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。