第三章

3-2．假设温度计可用1/（Ts+1）传递函数描述其特性。现用该温度计测量某容器中的水温，发现经1min后才能指示出实际水温的96%，问：

（1）. 该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？ （2）. 如果给该容器加热，使容器内水温以0.1℃/s的速度均匀上升，当定义误

差e(t)=r(t)-c(t)时，温度计的稳态指示误差有多大？ 解：

（1）. 设实际水温为Tr，温度计原来处于T0=0度，当温度计放入水中时，相当

于输入一阶跃值为Tr -T0=Tr的阶跃函数，温度计的时间响应函数为：

t??Tc?t???Tr?T0???1?e??? ???? ???60Tt?c?t?c?t??T???1?e?Tr?T0Tr?根据题意可得：0.96?1?e

?? ??t?c?t??T??1?e即可得：T=18.64(s)，?Tr??t118.64t118.6410%所需的时间为0.1?1?e90%所需的时间为0.9?1?e，t1?1.96?s?。 ，t2?42.92?s?。

?所以可得该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间（上升时间）是

tr?t2?t1?40.96?s?

（2）. 由题可知系统为一阶系统，故系统稳定，为求当r(t)=0.1t时的稳态误

差，由一阶系统的时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T，所以

稳态指示误差：lime?t??0.1?T?1.864?C

t??（将1/（Ts+1）转化为开环传递函数为1/（Ts）时的单位反馈系统，则可见此时系统的误差为e(t)=r(t)-c(t)。根据

C(s) E(s) 1系统为I型，可得稳态速度误差系数R(s) + - 18.64s为Kv=K=1/T，得当输入信号为

r(t)=0.1t时的稳态误差为

essv?0.1?1?0.1?T?1.864?C） Kv题3-2（2）图 3-5．某控制系统如图3-24所示，已知K=125，

E(s) R(s) 试求： + - （1）. 系统阶次，类型。

K 4s?s?4?C(s) 0.2 图3-24 题3-5图

（2）. 开环传递函数，开环放大倍数。 （3）. 闭环传递函数，闭环零点、极点。

（4）. 自然振荡频率ωn，阻尼比ζ，阻尼振荡频率ωd。 （5）. 调整时间ts(△=2%)，最大超调量σp%。

（6）. 输入信号r(t)=5时，系统的输出终值c(∞)、输出最大值cmax。 （7）. 系统的单位脉冲响应。【系统的单位阶跃响应】 （8）. 系统的单位斜坡响应。【讨论系统单位阶跃响应出现超调、衰减振荡、无

超调三种情况下的K值】

（9）. 静态误差系数Kp、Kv、Ka。 （10）. 系统对输入为r(t)=5+2t+t2时的稳态误差。 解：

（1）. 系统的开环传递函数：G?s?H?s??可见系统阶次为二阶，类型为I型。 （2）. 开环传递函数G?s?H?s??（3）. 闭环传递函数为：

G?s?7.81255?2.52??s????，闭环没有

1?G?s?H?s?0.25s2?s?1.5625s2?2?0.8?2.5s?2.520.2K0.0125K1.5625??，

4s?s?4?s?0.25s?1?s?0.25s?1?1.5625，开环放大倍数为1.5625

s?0.25s?1?闭环零点，闭环极点为：s1,2??2?1.5j （4）. ?n?2.5，??0.8，?d??n1??2?1.5 （5）. ts?4???1??2??n?2，?p%?e?0.015

（6）. 因为标准型二阶系统单位阶跃信号的稳态输出为1，最大值为1+Mp=1+

σp%=1.015，由于线性系统符合叠加原理，所以可得：c????5*5=25，cmax=5*5*1.015=25.375

（7）. 由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

c?t??1?11??2e???nt2?1??sin??dt?arctan????? ???5?所以系统单位阶跃响应为：c?t??5?1?e?2tsin?1.5t?0.6435??

?3?利用线性系统的重要特征即可得单位脉冲响应：

c??t???dc?t??10??5?e?2tsin?1.5t?0.6435??2.5e?2tcos?1.5t?0.6435??dt?3?

125?2tesin1.5t6?20.833e?2tsin1.5t【由于标准型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：

c?t??1?11??2e???nt2?1??sin??dt?arctan????? ???5?所以系统单位阶跃响应为：c?t??5?1?e?2tsin?1.5t?0.6435??】

?3?（8）. 同理可得单位斜坡响应：

?5?cv?t???c?t?dt?5??1?e?2tsin?1.5t?0.6435??dt?3?8?5t?e?2tsin?1.5t?0.6435??2e?2tcos?1.5t?0.6435??C3 1416?5t?e?2tsin1.5t?e?2tcos1.5t?C15510?5t?e?2tsin?1.5t?1.287??C3

积分常数C由初始状态为零的条件而得，即

10??cv?0??0??5t?e?2tsin?1.5t?1.287??C?

3??t?0可得C=-3.2，所以单位斜坡响应为：

cv?t??5t?14?2t16esin1.5t?e?2tcos1.5t?3.2155

10?5t?e?2tsin?1.5t?1.287??3.23

【闭环传递函数为??s??20.05KK0.25K?2

4s?s?4??0.2Ks?4s?0.05K可得??

超调：0???1，得K?80 衰减振荡：0???1，得K?80

无超调：??1，得K?80，又系统稳定K?0，所以0?K?80】