会因为太小而容易断开，所以，扣子只能够接触到小齿轮弧长为一的轮齿。

从参考资料 [2] 得知，上述的数列能够不断被建构出来，直至无限大。可

是，并不是所有周期数列都拥有如此巧妙的总和特性。例如，我们可以很快便知道「1，2，3，4，5，4，3，2」不可用，因为6＜4 + 3；而「1，2，3，2」也不可用，因为2 + 1＜4＜2 + 1 + 2。

布拉格天文钟很可能是世上现存少数装有（图6）零件的大钟当中最古老的

一个（参考资料 [1]，76页）。正因上述完美的总和特性，美国数学家斯洛恩（Sloane，参考书目 [3] 及 [4，A028355，A028356] 的作者）把「1，2，3，4，3，2，1，2，3，4……」称为时钟数列(clock sequence)。

图7 天文钟详图，展示了小齿轮的位置。图中的扣子卡在大齿轮的八时与九时之间的齿距上。

三、三角形数与周期数列的关系

本节简洁地论述三角形数

与天文钟的关系，并找出所有跟时钟数列「1，2，3，4，3，2」拥有相同特性的周期数列，亦即可应用在小齿轮构造的周期数列。设N={1，2，…}。

若对任意正整数k，存在一个正整数n使得

成立，那幺该周期数列{a_i}会被称为辛蒂尔(?indel)数列，其中等号左边的三角

形数T_k等于大齿轮所有时刻的总和「1+…+k」，而右边数字的总和则表示小齿轮相应的转动圈数（图8）。我们在参考资料 [2]证明了，上述条件可被一个弱得多的条件所取代，只需要有限个k，那就是，序列「a_1，a_2，…，a_p，a_1，a_2，…」的周期长为p，若存在正整数n，使等式(1)对「k=1，2，a_1+a_2+…+a_{p-1}」成立，那幺该数列就是辛蒂尔数列。这样便可在有限的运算次数中，检查某一周期「a_1，…，a_p」能否得出辛蒂尔数列。参考资料 [2] 也提供了查找辛蒂尔数列的显式算法。

图8：三角形数T_7的示意图。第k行的bullet指出了第k小时大钟敲打的次数，而数字则代表小齿轮不同小节的长度。

四、其它具有数学及科学意义的名胜

离天文钟几米远的地方，竖立着一个爱因斯坦纪念碑，记念他在1911年至1912年间，在旧城广场十七号暂住的岁月。纪念碑旁边的哥德式教堂泰恩 (Tyn)，安放了建于1601年的第谷?布拉赫的墓冢，供游人参观。沿旧城广场向前走，一直到契里特纳大街(Celetná Street) 25号，就会看见波尔查诺纪念碑（图10）。旧城广场附近还有其它科学家的纪念碑及半身塑像，同样也值得参观。这些人物包括爱因斯坦（Vini?ná 7号、Lesnická 7号）、多普勒（查理广场20号、Obecnlho dvora 7号；图11）、开普勒（查理大街 4号、Ovocny trh 12/573号）、以及位于Parlerova街2号的开普勒和布拉赫的大型雕像（图12）等。

作为旅游热点，布拉格拥有不同历史风格的建筑物，罗马式、哥德式、文艺复兴、巴洛克等建筑在市内比比皆是，因此被誉最美、最浪漫的中欧城市之一。宏伟的布拉格城堡、艺术家和巴洛克雕塑处处可见的查理大桥(Charles Bridge)，

还有泥巴妖怪勾勒姆(Golem)传说的发源地——犹太区(Jewish Town)。相传勾勒姆是由德高望重的犹太教师罗乌(Rabbi Loew)在十六世纪末左右制造，用来帮助当时居住在布拉格的犹太人对抗迫害。此外，布拉格也是欧洲的文化重镇，拥有浓厚的音乐传统，历史上曾有多部著名作品在此公演。1787年10月29日，享负盛名的莫扎特歌剧《唐璜》在查理大学附近的艾斯特歌剧院(Estate Theatre)首度公演。总括来说，不管你对数学是否感兴趣，布拉格都会给你带来无穷乐趣。

图9 爱因斯坦纪念碑

图10 波尔查诺纪念碑

图11 多普勒纪念碑

图12 开普勒与布拉赫的大型雕塑

鸣谢

本论文由院校研究计划（编号AV0Z 10190503）及捷克共和国教育部研究基金（编号IP05ME749）拨款资助。感谢Jakub ?olc 先生提供图像技术支持。

参考文献

[1] Z. Horsky, The Astronomical Clock of Prague, Panorama, Prague, 1988.

[2] M. Krizek, A. Solcova, L. Somer, Construction of Sindel sequences, Comment. Math. Univ. Carolin., 48 (2007), 373-388.

[3] N. J. A. Sloane, My favorite integer sequences, arXiv:math.CO/0207175v1, 2002, 1-28.

[4] N. J. A. Sloane, The on-line encyclopedia of integer sequences, 2007, published electronically at http://www.research.att.com/rvnjas/sequences/.