所以当x∈[0,1)时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥2x， 由奇函数性质知，?x∈(－1，1)，都有|f(x)|≥2|x|. 故正确的命题为①②③④.
?log3x，0 12．已知函数f(x)＝? ?|x－4|，x>3， 则实数m的取值范围是( ) 若函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点， ?1?A.?，1? ?2? 1??B.?－∞，?∪(1，＋∞) 2?? 1??C.?－∞，?∪[1，＋∞) 2?? ?1?D.?，1? ?2? 答案 A 解析 函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点， 即为f(x)－mx＋2＝0有三个不同的实根， 可令y＝f(x)，y＝g(x)＝mx－2， 分别画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象， A(0，－2)，B(3,1)，C(4,0)， 则g(x)的图象介于直线AB和AC之间， 所以kAC 可得 2 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) ?7?x13．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，当0 ?2? ＝________. 答案 －2 解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数， 当0 x 5 ?7??7??1?∴f?－?＝－f??＝－f??＝－2，f(6)＝f(0)＝0， ?2??2??2??7?则f?－?＋f(6)＝－2. ?2? ?1?14．若函数y＝f(x)的定义域是?，2?，则函数y＝f(log2x)的定义域为________． ?2? 答案 [2，4] 1 解析 由题意，得≤log2x≤2，解得2≤x≤4， 2即函数y＝f(log2x)的定义域为[2，4]． ?? 15．已知函数f(x)＝? ??2 9 答案 － 16 x＋，0≤x<， x－1 1212 1 ，≤x<2，2 若存在x1，x2，当0≤x1 则x1f(x1)－f(x2)的最小值为________． 解析 作出函数图象如图： 212－1?1?令f??＝＝x＋，得x＝， 22?2?2 因为存在x1，x2，当0≤x1 2－11≤x1<， 22 又x1f(x1)－f(x2)＝x1f(x1)－f(x1) 112 ＝x1－x1－， 22 1?2911?2 令y＝x1－x1－＝?x1－?－， 4?1622?19 故当x1＝时，ymin＝－. 416 16．设a，b∈R，已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ 6 1?x????2?，0≤x<2，?????log16x，x≥2， 若关于x的方程[f(x)]＋af(x)＋b＝0有且只有7个不同的实数根， 2 则的取值范围是____________． 1??1 答案 ?－，－? 5??2 解析 函数f(x)的图象如图所示， ba 由图可知，若关于x的方程[f(x)]＋af(x)＋b＝0有且只有7个不同的实数根，令f(x)＝t， 2 ?1? 2 则关于t的一元二次方程t＋at＋b＝0的两根，其中一根为1，另一根在开区间?，1?内， ?4? a＋b＋1＝0，?? 所以有?5 <－a<2??4 所以＝ b＝－1－a，?? ??114 <－<，??2a5 1?b－1－a1?1 ＝－－1∈?－，－?. 5?aaa?2 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知命题p：函数f(x)为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，实数m满足不等式 f(m＋1) 2 ?? π?? 为真命题的实数m的取值范围． 解 对于命题p： ∵函数f(x)为(0，＋∞)上的单调减函数， 实数m满足不等式f(m＋1) ∴m＋1>3－2m>0，解得 ?π?对于命题q：当x∈?0，?时，sinx∈[0,1]， 2?? m＝cos2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1 ＝－(sinx＋1)＋2∈[－2，1]. 2 要使“p且q”为真命题，则p真q真， 7 23?? 2即?3??－2≤m≤1， ?2?∴m的取值范围是?，1?. ?3? 18．(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2(x＋1)， (1)求函数f(x)的解析式； (2)若f(m)<－2，求实数m的取值范围． 解 (1)∵当x>0时，f(x)＝log2(x＋1)， ∴当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝log2(－x＋1)， ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝log2(－x＋1)， 即f(x)＝－log2(－x＋1)，又f(0)＝0， log2?x＋1?，x>0，?? ∴f(x)＝?0，x＝0， ??－log2?1－x?，x<0， (2)∵当x>0时，f(x)＝log2(x＋1)>0，f(0)＝0， ∴f(m)<－2等价于－log2(1－m)<－2， ∴log2(1－m)>2， ∴1－m>4，∴m<－3. 即实数m的取值范围是(－∞，－3)． 19．(12分)设函数f(x)＝a－(k－1)a(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇函数． (1)求k的值； (2)若f(1)<0，试判断函数单调性，并求使不等式f(x＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围． 解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝a－(k－1)a＝1－(k－1)＝0， ∴k＝2. (2)f(x)＝a－a(a>0，且a≠1)． 1 ∵f(1)<0，∴a－<0. x－x0 0 2