第五章 中心力场

§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质

一、角动量守恒与径向方程

设质量为?的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：

??2p?22?H??V(r)????V(r)，

2?2?????????l?rp与经典力学中一样，角动量也是守恒量，即

??l??,H?]?0 ? ?0 [l?t2??1??2??l?H??r??V(r) ??222?r?r??r?2?r?2?2?????z??0；?ll,l,H?0； ????????2????z构成力学量完全集，存在共同本征态； H,l?2,l?2??21??????l2定态薛定谔(能量本征方程)：???V(r)???E? ?r??222?r?r??r?2?r????上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。

?,l?2,l?z共同本征态，即：??r,?,???R?r?Y??,?? 取?为Hllm2?z共同本征态：l?0,1,2,...，m?0,?1,?2,...,?l l,lYlm??,??是?????2??E?V?l?l?1??2dd2?分离变量：??2?Rl?Rl?Rl?0 22rdrdr?r??d22dRl?2??E?V(r)?l?l?1??径向方程可写为：2Rl?????Rl?0，l?0,1,2,... (1) 22drrdr??r?为求解径向方程，引入变换：Rl(r)??l(r)r；

?2??E?V(r)?l?l?1??d2径向方程简化为：2?l?????l?0 (2) 22dr?r??不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或?l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l+1重简并的。

在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数nr，

1

二、 径向波函数在r?0邻域的渐近行为：

2d22dRl?2?r?E?V(r)?l?l?1??Rl?????Rl?0 dr2rdr?r2?2r2?假定V(r)满足：limrV(r)?0

r?02薛定谔方程在r?0邻域表示为：

d22dRll?l?1?R??Rl?0； (3) l22drrdrr在正则奇点r=0邻域，设Rl(r)?rs，代入(3)式，得：

s(s?1)rs?2?2srs?2?l(l?1)rs?2?0；

?s(s?1)?l(l?1)

解出：s1?l，或s2??(l?1)， 即当r?0时,R1?rl或R2?r?(l?1)

根据波函数平方可积条件，因此要求：r?0时，Rl?rl的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解?(r)?rRl(r)满足 lim?l(r)?0

r?0三、两体问题化为单体问题

两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(r1?r2)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：

???22?22??????[??1??2?V(r1?r2)]?(r1,r2)?ET?(r1,r2) (5) 2m12m2??ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r

???m1r?mr122 R?

m1?m2??? r?r1?r2

可以证明

12121212?1??2??R?? m1m2M?m1m2——约化质量或折合质量

m1?m2其中M?m1?m2——体系的总质量，???2?2?2?2?2?22?2?2，??2?2?2（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质 ??2?X?Y?Z?x?y?z2R心坐标的微商）

二粒子体系的能量本征方程(5)化为：

2

?22?22[??R???V(r)]??ET? (6) 2M2?此方程可分离变量，令

?????(R)?(r)

代入(6)式，得

??22???R?(R)?EC?(R) (7) 2M?22???[???V(r)]?(r)?E?(r) E?ET?EC (8) 2?式(7)描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动，?(X,Y,Z)就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。 式(8)描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。

§5.4 氢原子

氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动(r~10?8cm)。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）

e2V(r)??

r这是一个两体问题。

按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数?l(r)?rRl(r)满足下列方程：

?2??d2e2?l?l?1???l??2?E?????l?0 (1) 22drr?r????及边条件 ?l(0)?0 式中?为电子的约化质量，??mempme?mp，me和mp分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在

计算过程中令??e???1，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。

?2??d2e2?l?l?1?? 2?l??2?E?????l?0 (1) 2dr?rr????r=0,?是微分方程的两个奇点。

l?l?1?d2?l?0；?l(r)?rl?1，或?l(r)?r?l r?0时，2?l?2drr只有?(r)?rRl(r)?0是满足要求的，所以r?0，?l(r)?rl?1

3