18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2倾斜角可以是

①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 ④或⑥ ．（写出所有正确答案的序号） 【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】由两平行线间的距离

=

，则m的

，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平

行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值． 【解答】解：由两平行线间的距离为

=

，直线m被平行线截得线段的长为2

，

可得直线m和两平行线的夹角为30°．

由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°， 故答案为：④或⑥．

三、解答题：（本大题共5题，满分60分）

19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4） ，B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标

（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程； （3）求△ACD的面积．

【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．

【分析】（1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．

（2）求得直线CD的斜率KCD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为中，求得CD边上的高线所在直线的方程0． （3）求得

，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直

，从而在△ACD

线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积． 【解答】解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）， 设AC的中点为M，则M（，），

设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，所以，

D（3，8）．

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（2）∵直线CD的斜率KCD=

=5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为，

故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为（3）∵C（2，3），D（3，8），∴

，即为x+5y﹣19=0． ，

D两点得直线CD的方程为：5x﹣y﹣7=0，由C，∴点A到直线CD的距离为=∴

，

．

20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

AD，设E、F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD； （Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC； （Ⅲ） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；

（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；

（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值； 【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形， 连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，

∴在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD， ∴EF∥平面PAD；

（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形， ∴CD⊥AD，CD?平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA， 又

，

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所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，

CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC， 又PA?面PAB， ∴面PAB⊥面PDC；

（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，

由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，

Rt△FEM中，，，，

故所求二面角的正切值为；

21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．

（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；

（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）

【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程； （2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少． 【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴， 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）． 又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．… 因为|CD|=|CB|，所以

，解得b=﹣12．…

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所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…

（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，… 距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，

所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…

22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；

（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积． 【解答】（Ⅰ）证明：如图， 取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B． 因为CA=CB，所以OC⊥AB． 由于AB=AA1，

，故△AA1B为等边三角形，

所以OA1⊥AB．

因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C． 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C；

（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以又

，则

．

，故OA1⊥OC．

因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高． 又△ABC的面积

，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．

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23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4， （1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；

（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标． 【考点】直线和圆的方程的应用． 【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C1的切线方程；

（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标． 【解答】解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y﹣6=k（x﹣4）， 则圆心C1到切线的距离

，解得

，

所以切线的方程为：5x﹣12y+52=0；

若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．

综上所述，过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4． …

（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0）， 即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0）， 则直线l2的方程为：

，即x+ky﹣bk﹣a=0．

因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍，

及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，

所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍， 即

…

整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|

从而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k， 即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14， 因为k的取值有无穷多个，所以

或

，…

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