福建师大附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版) 下载本文

18.若直线m被两平行线l1:x+y=0与l2:x+y+=0所截得的线段的长为2倾斜角可以是

①15° ②45° ③60° ④105°⑤120° ⑥165° 其中正确答案的序号是 ④或⑥ .(写出所有正确答案的序号) 【考点】直线的倾斜角;直线的一般式方程与直线的平行关系. 【分析】由两平行线间的距离

=

,则m的

,得直线m和两平行线的夹角为30°.再根据两条平

行线的倾斜角为135°,可得直线m的倾斜角的值. 【解答】解:由两平行线间的距离为

=

,直线m被平行线截得线段的长为2

可得直线m和两平行线的夹角为30°.

由于两条平行线的倾斜角为135°,故直线m的倾斜角为105°或165°, 故答案为:④或⑥.

三、解答题:(本大题共5题,满分60分)

19.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(﹣1,4) ,B(﹣2,﹣1),C(2,3).(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标

(2)在△ACD中,求CD边上的高线所在直线方程; (3)求△ACD的面积.

【考点】待定系数法求直线方程;点到直线的距离公式.

【分析】(1)设AC的中点为M,则由M为AC的中点求得M(,),设点D坐标为(x,y),由已知得M为线段BD中点,求得D的坐标.

(2)求得直线CD的斜率KCD,可得CD边上的高线所在直线的斜率为中,求得CD边上的高线所在直线的方程0. (3)求得

,用两点式求得直线CD的方程,利用点到直

,从而在△ACD

线的距离公式求得点A到直线CD的距离,可得△ACD的面积. 【解答】解:(1)由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(﹣1,4),B(﹣2,﹣1),C(2,3), 设AC的中点为M,则M(,),

设点D坐标为(x,y),由已知得M为线段BD中点,有,解得,所以,

D(3,8).

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(2)∵直线CD的斜率KCD=

=5,所以CD边上的高线所在直线的斜率为,

故△ACD中,CD边上的高线所在直线的方程为(3)∵C(2,3),D(3,8),∴

,即为x+5y﹣19=0. ,

D两点得直线CD的方程为:5x﹣y﹣7=0,由C,∴点A到直线CD的距离为=∴

20.如图在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=

AD,设E、F分别为PC、BD的中点.

(Ⅰ) 求证:EF∥平面PAD; (Ⅱ) 求证:面PAB⊥平面PDC; (Ⅲ) 求二面角B﹣PD﹣C的正切值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)利用线面平行的判定定理:连接AC,只需证明EF∥PA,利用中位线定理即可得证;

(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理:只需证明PA⊥面PDC,进而转化为证明PA⊥PD,PA⊥DC,易证三角形PAD为等腰直角三角形,可得PA⊥PD;由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD,得CD⊥PA;

(Ⅲ)设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD,由(Ⅱ)可证PD⊥平面EFM,则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角,通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值; 【解答】(Ⅰ)证明:ABCD为平行四边形, 连结AC∩BD=F,F为AC中点,E为PC中点,

∴在△CPA中EF∥PA,且PA?平面PAD,EF?平面PAD, ∴EF∥平面PAD;

(Ⅱ)证明:因为面PAD⊥面ABCD,平面PAD∩面ABCD=AD,ABCD为正方形, ∴CD⊥AD,CD?平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA, 又

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所以△PAD是等腰直角三角形,且,即PA⊥PD,

CD∩PD=D,且CD、PD?面ABCD,PA⊥面PDC, 又PA?面PAB, ∴面PAB⊥面PDC;

(Ⅲ)解:设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD,

由(Ⅱ)知EF⊥面PDC,EF⊥PD,PD⊥面EFM,PD⊥MF,∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角,

Rt△FEM中,,,,

故所求二面角的正切值为;

21.一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥.在正常水位时,拱桥最高点距水面8m,拱桥内水面宽32m,船只在水面以上部分高6.5m,船顶部宽8m,故通行无阻,如图所示.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求正常水位时圆弧所在的圆的方程;

(2)近日水位暴涨了2m,船已经不能通过桥洞了.船员必须加重船载,降低船身在水面以上的高度,试问:船身至少降低多少米才能通过桥洞?(精确到0.1m,)

【考点】圆方程的综合应用. 【分析】(1)在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴,过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系建立坐标系,利用|CD|=|CB|,确定圆的方程; (2)令x=4时,求得y≈7.6,即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m,即可求得通过桥洞,船身至少应该降低多少. 【解答】解:(1)在正常水位时,设水面与桥横截面的交线为x轴, 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系, 如图所示,则A,B,D三点的坐标分别为(﹣16,0),(16,0),(0,8). 又圆心C在y轴上,故可设C(0,b).… 因为|CD|=|CB|,所以

,解得b=﹣12.…

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所以圆拱所在圆的方程为:x2+(y+12)2=(8+12)2=202=400…

(2)当x=4时,求得y≈7.6,即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m,… 距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m,顶宽8m,

所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9(m)以上,船才能顺利通过桥洞.…

22.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C;

(Ⅱ)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.

【考点】直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】(Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去AB中点O,连结OC,OA1,可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论;

(Ⅱ)在三角形OCA1中,由勾股定理得到OA1⊥OC,再根据OA1⊥AB,得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积. 【解答】(Ⅰ)证明:如图, 取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB. 由于AB=AA1,

,故△AA1B为等边三角形,

所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C;

(Ⅱ)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形, 所以又

,则

,故OA1⊥OC.

因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高. 又△ABC的面积

,故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积.

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23.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=16和圆C2:(x﹣7)2+(y﹣4)2=4, (1)求过点(4,6)的圆C1的切线方程;

(2)设P为坐标平面上的点,且满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍.试求所有满足条件的点P的坐标. 【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】(1)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,建立方程,求出k,即可求过点(4,6)的圆C1的切线方程;

(2)设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程,根据⊙C1和⊙C2的半径,及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2,可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍,故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程,即可以求所有满足条件的点P的坐标. 【解答】解:(1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为y﹣6=k(x﹣4), 则圆心C1到切线的距离

,解得

所以切线的方程为:5x﹣12y+52=0;

若切线的斜率不存在,则切线方程为x=4,符合题意.

综上所述,过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4. …

(2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为:y﹣b=k(x﹣a)(k≠0), 即kx﹣y+b﹣ak=0(k≠0), 则直线l2的方程为:

,即x+ky﹣bk﹣a=0.

因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍,

及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍,

所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍, 即

整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+(2b﹣8)k|

从而ak﹣b=2a﹣14+(2b﹣8)k或b﹣ak=2a﹣14+(2b﹣8)k, 即(a﹣2b+8)k=2a+b﹣14或(a+2b﹣8)k=﹣2a+b+14, 因为k的取值有无穷多个,所以

,…

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