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(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。 (4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。

(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制也可

以用多级倒立摆系统进行研究。

由于倒立摆系统与双足机器人、火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性，因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。

1.2 倒立摆的控制方法

倒立摆有多种控制方法。对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战，更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法，探索新的控制理论，并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中。当前，倒立摆的控制方法可分为以下几类 ：

(1)线性理论控制方法

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器。PID控制、状态反馈控制、能量控制]、LQR控制算法是其典型代表。

(2)预测控制和变结构控制方法

预测控制：是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制：是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现

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2单级倒立摆数学模型的建立

在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示

图1 单级倒立摆模型示意图

那我们在本实验中定义如下变量：

M 小车质量 （本实验系统 1.096 Kg） m 摆杆质量 （本实验系统 0.109 Kg） b 小车摩擦系数 （本实验系统 0.1 N/m/sec） l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.25 m） I 摆杆惯量 （0.0034 kg*m*m） F 加在小车上的力 x 小车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下面我们对这个系统作一下受力分析。下图2是系统中小车和摆杆的受力分

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析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。

图2 倒立摆模型受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到等式：

应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

??F?bx??N M?x由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

N?md2dt2(x?lsin?)

?2sin???ml?cos??ml?x即 N?m???

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

??cos??ml??2sin??F??bx??ml?(M?m)?x （1）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，

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可以得到下面方程：

d2P?mg?m2(lcos?)dt??sin??ml??2cos?即：P?mg??ml?

力矩平衡方程如下：

???Plsin??Nlcos??I?

注意：此方程中力矩的方向，由于?????,cos???cos?,sin???sin?，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，由

432I?13ml得到第二个运动方程：

（2）

???mglsin???ml??cos?ml2?x设?????（?是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设?与1（单位是

d?()2?0sin????，dtcos???1，弧度）相比很小，即?《1，则可以进行近似处理：。

用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

4???g?????x?3l?????u???bx??ml?x?(M?m)? （3）

2.1传递函数

对方程组(3)进行拉普拉斯变换，得到

?422?l?(s)s?g?(s)?X(s)s?3?(M?m)X(s)s2?bX(s)s?ml?(s)s2?U(s)? （4）

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

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